Encontre uma representação em série de potências para a função f abaixo e determine o intervalo de convergência:
(a) f(x)=1x^2+25 (b) f(x)=arctg(2 x)
© f(x)=ln (11+3 x^2) (d) f(x)=integral0^x t1+t^5 d t

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a série de potências de quatro funções diferentes e, em cada caso, descobrir o raio (e intervalo) de convergência. O conteúdo principal que vamos usar inclui: a expansão de uma série geométrica
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n,
as séries conhecidas de arctan z e de ln(1+u), além de integração termo a termo de séries. Cada passo vai mostrar como aplicar essas ideias.

Passo 2

Para f(x)=1x^2+25 fazemos 1x^2+25=12511+(x/5)^2. Reconhecendo u=(x/5)^2, usamos a geométrica:
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n
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1x^2+25=125sumn=0^infty(-1)^nl(x5r)^2n=sumn=0^infty(-1)^nx^2n25^,n+1
Temos convergência para |x/5|<1, ou seja |x|<5.

Passo 3

Para f(x)=arctan(2x), lembramos da série de arctan z:
arctan z=sumn=0^infty(-1)^nz^2n+12n+1, |z|<=1,
aplicando z=2x:
arctan(2x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n+12n+1
Essa série converge para |2x|<=1 (com convergência absoluta se |2x|<1 e condicional em |2x|=1), isto é |x|<=1/2.

Passo 4

Para f(x)=lnl(1/(1+3x^2)r)=-ln(1+3x^2), usamos a expansão
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n-1u^nn, |u|<1
Com u=3x^2 e o sinal menos:
f(x)=-sumn=1^infty(-1)^n-1(3x^2)^nn= sumn=1^infty(-1)^n3^n x^2nn
Converge para |3x^2|<1, ou seja |x|<1/raiz3.

Passo 5

Para f(x)=integral0^xt1+t^5,dt, primeiro expandimos
t1+t^5=tsumn=0^infty(-1)^n t^5n= sumn=0^infty(-1)^n t^5n+1, |t^5|<1
Então integramos termo a termo de 0 a x:
f(x)=sumn=0^infty(-1)^nintegral0^x t^5n+1dt= sumn=0^infty(-1)^nx^5n+25n+2
Essa expansão vale para |x|<1, pois |t|<1 no integrando.

Passo 6

Aí estão as séries e os respectivos intervalos de convergência para cada item.

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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