Encontre uma representação em série de potências para a função
abaixo e determine o intervalo de convergência:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
©
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar a série de potências de quatro funções diferentes e, em cada caso, descobrir o raio (e intervalo) de convergência. O conteúdo principal que vamos usar inclui: a expansão de uma série geométrica
as séries conhecidas de
e de
, além de integração termo a termo de séries. Cada passo vai mostrar como aplicar essas ideias.
Passo 2
Para
fazemos
. Reconhecendo
, usamos a geométrica:
Logo
Temos convergência para
, ou seja
.
Passo 3
Para
, lembramos da série de
:
aplicando
:
Essa série converge para
(com convergência absoluta se
e condicional em
), isto é
.
Passo 4
Para
, usamos a expansão
Com
e o sinal menos:
Converge para
, ou seja
.
Passo 5
Para
, primeiro expandimos
Então integramos termo a termo de 0 a
:
Essa expansão vale para
, pois
no integrando.
Passo 6
Aí estão as séries e os respectivos intervalos de convergência para cada item.
Resposta
(a)
(b)
©
(d)