Calcule as integrais triplas usando coordenadas cilíndricas:
integralOmega z d V
Omega é a região do primeiro octante quadrante no interior da bola x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla integral triplaOmega z,dV, onde Omega é a parte da bola x^2+y^2+z^2<=1 no primeiro octante (ou seja, x>=0, y>=0, z>=0). Esse exercício usa coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Passamos para coordenadas cilíndricas e escrevemos a integral:
integral triplaOmega z,dV =integraltheta=0^pi/2integralz=0^1integralr=0^raiz1-z^2 z,l(rr),dr,dz,dtheta,

Passo 3

Primeiro fazemos a integral em r:
integral0^raiz1-z^2 z,r,dr = zcdot12r^2|0^raiz1-z^2 =z2,(1-z^2)

Passo 4

Agora integramos em z:
integral0^1z2(1-z^2),dz =12integral0^1(z-z^3),dz =12l(12-14r) =18

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
integral0^pi/2dtheta=pi2, e multiplicamos pelo resultado em z:
pi2cdot18=pi16

Resposta

pi16

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