Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(-5)^{n}}

Passo 1

Vou resolver a série sumn=1^infty n!(-5)^n. O conteúdo é teste de convergência de séries com termos alternados e positivos, e vamos precisar do teste da razão para ver convergência absoluta.

Passo 2

Identifico o termo geral e a série de valores absolutos. Temos an = n!(-5)^n. A série de valores absolutos é sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty n!5^n.

Passo 3

Aplico o teste da razão à série absoluta. Calculo
limntoinfty|an+1||an| = limntoinfty (n+1)!/5^n+1n!/5^n = limntoinfty n+15 = +infty

Passo 4

Como o limite é maior que 1, a série de valores absolutos diverge. Logo, não há convergência absoluta. Além disso, como limntoinfty an não é zero (na verdade |an|toinfty), a série original também diverge imediatamente.

Passo 5

Para a parte (b), consideramos a série de termos positivos sumn=1^infty n!5^n. Aplicando novamente o teste da razão, obtemos o mesmo limite infinito, logo essa série também diverge.

Resposta

(a) Divergente (nem condicionalmente convergente). (b) Divergente.

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