Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+2 y^prime+2 y=de

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de segunda ordem com força tipo delta de Dirac em t=π e condições iniciais nulas. O conteúdo aqui é transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais, usando também a propriedade de deslocamento no tempo para pulsos do tipo delta.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Como y(0)=y’(0)=0, temos:
Ly''=s^2Y(s), Ly'=sY(s)
Portanto
s^2Y(s)+2sY(s)+2Y(s)= Lde

Passo 3

Fatorando Y(s), obtemos:
Y(s)l(s^2+2s+2r)=e^-pi s Longrightarrow Y(s)=e^-pi ss^2+2s+2=e^-pi s(s+1)^2+1

Passo 4

Reconhecemos na tabela que
L^-1l1(s+1)^2+1r=e^-tsin t,H(t),
que é a resposta ao impulso h(t) do sistema sem deslocamento.

Passo 5

Pela propriedade de deslocamento no tempo,
Lf(t-pi)H(t-pi)=e^-pi sF(s)
Como aqui F(s)=1/((s+1)^2+1), a solução fica
y(t)=H(t-pi),e^-(t-pi)sin(t-pi)

Resposta

y(t)=H(t-\pi),e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi)

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