Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de segunda ordem com força tipo delta de Dirac em t=π e condições iniciais nulas. O conteúdo aqui é transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais, usando também a propriedade de deslocamento no tempo para pulsos do tipo delta.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Como y(0)=y’(0)=0, temos:
Portanto
Passo 3
Fatorando Y(s), obtemos:
Passo 4
Reconhecemos na tabela que
que é a resposta ao impulso h(t) do sistema sem deslocamento.
Passo 5
Pela propriedade de deslocamento no tempo,
Como aqui F(s)=1/((s+1)^2+1), a solução fica
Resposta
y(t)=H(t-\pi),e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi)