Nos itens abaixo calcule o limite ou mostre que não existe.
lim (x, y) (0,0) x^3-x^2 y+y^2 x-y^3x^2+y^2

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite lim(x,y)to(0,0) x^3-x^2y+y^2x-y^3x^2+y^2. O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e vamos precisar fatorar o numerador e usar a propriedade de que, se uma expressão fator comum não se anula no ponto, podemos simplificar e aplicar limite em funções contínuas.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador. Note que podemos agrupar termos para usar a diferença de cubos e um produto extra:
x^3-x^2y+y^2x-y^3=(x^3-y^3)-(x^2y-y^2x)
Agora usamos x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) e x^2y-y^2x=xy(x-y). Logo,
x^3-x^2y+y^2x-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)-xy(x-y)=(x-y)(x^2+y^2)

Passo 3

Substituindo de volta na função dada, fica
x^3-x^2y+y^2x-y^3x^2+y^2=(x-y)(x^2+y^2)x^2+y^2=x-y,
para todos (x,y)neq(0,0).

Passo 4

Como a nova função é x-y, cujo limite quando (x,y)to(0,0) é 0 (funções lineares são contínuas), concluímos que o limite original é 0.

Resposta

0

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