Calcule as integrais triplas usando coordenadas esféricas:
integralOmega 1x^2+y^2+z^2 d V
Omega é a região acima do plano z=0, limitada pelo cone z=raiz3 x^2+3 y^2 e as esferas x^2+y^2+z^2=9 e x^2+y^2+z^2=81.

Passo 1

A gente quer calcular a integral tripla integral triplaOmega 1x^2+y^2+z^2,dV. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, onde usamos as relações x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi e o jacobiano dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas a função 1/(x^2+y^2+z^2) vira 1/rho^2 e o elemento de volume é rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta. Logo o integrando simplifica: 1rho^2,rho^2sinvarphi=sinvarphi.

Passo 3

Agora achamos os limites de integração. As esferas dão 3<=rho<=9. O cone z=raiz3(x^2+y^2) vira rhocosvarphi=raiz3,(rhosinvarphi), ou seja tanvarphi=1/raiz3 varphi=pi/6. Como estamos acima de z=0, temos 0<=varphi<=pi/6. E theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Montando a integral tripla em esféricas fica
integraltheta=0^2piintegralvarphi=0^pi/6integralrho=3^9sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em rho:
integral3^9drho=9-3=6
Isso deixa
6integral0^2piintegral0^pi/6sinvarphi,dvarphi,dtheta

Passo 6

Em seguida integramos em varphi:
integral0^pi/6sinvarphi,dvarphi=[-cosvarphi]0^pi/6=1-raiz32=2-raiz32
Fica então
6cdot2-raiz32integral0^2pidtheta=3(2-raiz3)integral0^2pidtheta
Por fim, integrando em theta de 0 a 2pi dá um fator 2pi. Multiplicando tudo obtemos
3(2-raiz3)times2pi=6pi(2-raiz3)

Resposta

6\pi\bigl(2-\sqrt3\bigr)

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