Calcule as integrais triplas usando coordenadas esféricas:
é a região acima do plano
, limitada pelo cone
e as esferas
e
.
Passo 1
A gente quer calcular a integral tripla
. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, onde usamos as relações
,
,
e o jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas a função
vira
e o elemento de volume é
. Logo o integrando simplifica:
.
Passo 3
Agora achamos os limites de integração. As esferas dão
. O cone
vira
, ou seja
→
. Como estamos acima de
, temos
. E
varia de 0 a
.
Passo 4
Montando a integral tripla em esféricas fica
Passo 5
Primeiro integramos em
:
Isso deixa
Passo 6
Em seguida integramos em
:
Fica então
Por fim, integrando em
de 0 a
dá um fator
. Multiplicando tudo obtemos
Resposta
6\pi\bigl(2-\sqrt3\bigr)