Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty (n!)^2(2n)!. O conteúdo é estudo de convergência de séries de termos positivos e vamos usar o teste da razão para decidir se ela converge.

Passo 2

Definimos an = (n!)^2(2n)! e aplicamos o teste da razão, calculando o quociente an+1/an. Nesta sequência temos:

Passo 3

an+1an = ((n+1)!)^2/(2n+2)!(n!)^2/(2n)! = (n+1)^2(2n+2)(2n+1)

Passo 4

Para ntoinfty o quociente tende a
limntoinfty (n+1)^2(2n+2)(2n+1) = 14 < 1
Como o limite é menor que 1, pelo teste da razão a série converge absolutamen­te.

Resposta

(a) Convergente (absolutamente). (b) Convergente.

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