Calcule as integrais usando coordenadas polares.
\iint_{R} x y d A onde R é o disco unitário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\iint_{R} x y \, dA
onde R é o disco unitário (centro na origem e raio 1). Ou seja, a região R é
R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Pergunta explícita: calcular o valor numérico da integral dupla \iint_{R} x y \, dA.

Passo 2

Vamos trocar para coordenadas polares. Na transformação polar definimos as variáveis
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde:
  • r é a distância do ponto (x,y) até a origem ( r\ge 0);
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo x (em radianos).
Também é essencial saber como o elemento de área se transforma: o retângulo pequeno de lados \,dr e \,d\theta na coordenada (r,\theta) tem área aproximada \,r\,dr\,d\theta. Portanto
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve motivo: o comprimento do arco correspondente a variação d\theta é r\,d\theta, multiplicando por dr dá a área do elemento.
Para o disco unitário os limites ficam simples:
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 3

Substituindo x, y e dA na integral:
x y \, dA = (r\cos\theta)(r\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Assim a integral torna-se
\iint_{R} x y \, dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Como o integrando é produto de uma função só de r e outra só de \theta, podemos separar:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right).
Calcule a parte em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Calcule a parte em \theta. Use a identidade
\cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta).
Então
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta.
Agora, \sin(2\theta) é uma função periódica cujo integral em um período completo é zero; formalmente,
\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta = \left.-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\right|_{0}^{2\pi} = -\tfrac{1}{2}\big(\cos(4\pi)-\cos 0\big)=0.
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = 0.
Multiplicando as duas partes:
\iint_{R} x y \, dA = \frac{1}{4}\cdot 0 = 0.

Passo 4

Interpretação e checagem rápida (intuitiva): a função x y muda de sinal quando se reflete a região em torno do eixo x (ou do eixo y), e o disco é simétrico em relação a esses eixos. Assim as contribuições positivas e negativas se cancelam, o que explica por que a integral é zero — compatível com o cálculo em coordenadas polares.

Resposta

0

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