Calcule as integrais usando coordenadas polares. \iint_{R} x y d A onde R é o disco unitário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\iint_{R} x y \, dA
onde R é o disco unitário (centro na origem e raio 1). Ou seja, a região R é
R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Pergunta explícita: calcular o valor numérico da integral dupla \iint_{R} x y \, dA.
Passo 2
Vamos trocar para coordenadas polares. Na transformação polar definimos as variáveis
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde:
r é a distância do ponto (x,y) até a origem (r\ge 0);
\theta é o ângulo medido a partir do eixo x (em radianos).
Também é essencial saber como o elemento de área se transforma: o retângulo pequeno de lados \,dr e \,d\theta na coordenada (r,\theta) tem área aproximada \,r\,dr\,d\theta. Portanto
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve motivo: o comprimento do arco correspondente a variação d\theta é r\,d\theta, multiplicando por dr dá a área do elemento.
Para o disco unitário os limites ficam simples:
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
Passo 3
Substituindo x, y e dA na integral:
x y \, dA = (r\cos\theta)(r\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Assim a integral torna-se
\iint_{R} x y \, dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Como o integrando é produto de uma função só de r e outra só de \theta, podemos separar:
Interpretação e checagem rápida (intuitiva): a função x y muda de sinal quando se reflete a região em torno do eixo x (ou do eixo y), e o disco é simétrico em relação a esses eixos. Assim as contribuições positivas e negativas se cancelam, o que explica por que a integral é zero — compatível com o cálculo em coordenadas polares.