Calcule as integrais usando coordenadas polares.
$ \iint_{R} x^{2} + y^{2} d A ondeR é o anelé1 \leq x{2}+y{2} \leq 4$.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{2}+y^{2}\,dA
onde R é o anel (região anular) definido por
1 \le x^{2}+y^{2} \le 4.
  • Informação importante extraída do enunciado: a condição 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4 significa que R é a região entre dois círculos centrados na origem com raios 1 e 2.

Passo 2

Troca para coordenadas polares — apresentação e justificativa (aula curta).
  • Em coordenadas polares as coordenadas cartesianas x,y são parametrizadas por r e \theta assim:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo com o eixo x.
  • Em polares, a expressão x^{2}+y^{2} fica muito simples:
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • Ao fazer mudança de variáveis de (x,y) para (r,\theta) é preciso multiplicar pelo determinante jacobiano da transformação, que é r. Assim a área elementar dA se transforma em
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve explicação do porquê do r: geometricamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então sua área é r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites de integração para r e \theta.
  • A condição da região R dada por 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4 em polares se torna
1 \le r^{2} \le 4.
  • Como r\ge 0, isso corresponde a
1 \le r \le 2.
  • A região é o anel completo em torno da origem (não há restrição de ângulo), portanto
0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 4

Montar a integral em coordenadas polares.
  • Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta, a integral fica
\iint_{R} x^{2}+y^{2}\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{2} \bigl(r^{2}\bigr)\, (r\,dr\,d\theta).
  • Simplificando o integrando:
\bigl(r^{2}\bigr)\, (r) = r^{3},
portanto a integral é
\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo (faça igual na prova).
  • Calcular a integral interna em r:
\int_{1}^{2} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4} = \frac{16}{4}-\frac{1}{4} = \frac{15}{4}.
  • Agora integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{15}{4}\,d\theta = \frac{15}{4}\left.\theta\right|_{0}^{2\pi} = \frac{15}{4}\cdot 2\pi = \frac{15\pi}{2}.

Passo 6

Checagem rápida e interpretação (truque útil para a prova).
  • Uma verificação alternativa: a integral de x^{2}+y^{2} sobre um disco de raio a é
\iint_{\text{disco }r\le a} (x^{2}+y^{2})\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r^{3}\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{a^{4}}{4} = \frac{\pi a^{4}}{2}.
  • Para o anel entre r=1 e r=2 usa-se a diferença:
\frac{\pi 2^{4}}{2}-\frac{\pi 1^{4}}{2}=\frac{\pi(16-1)}{2}=\frac{15\pi}{2},
que coincide com o resultado calculado — bom sinal de que tudo está certo.

Resposta

\dfrac{15\pi}{2}

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