Calcule as integrais usando coordenadas polares.
$
R
1 \leq x{2}+y{2} \leq 4$.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
- O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o anel (região anular) definido por
- Informação importante extraída do enunciado: a condição
significa que é a região entre dois círculos centrados na origem com raios e .
Passo 2
Troca para coordenadas polares — apresentação e justificativa (aula curta).
- Em coordenadas polares as coordenadas cartesianas
são parametrizadas por e assim:
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo com o eixo
.
- Em polares, a expressão
fica muito simples:
- Ao fazer mudança de variáveis de
para é preciso multiplicar pelo determinante jacobiano da transformação, que é . Assim a área elementar se transforma em
Breve explicação do porquê do
: geometricamente, um pequeno retângulo em
tem lados aproximadamente
e
, então sua área é
.
Passo 3
Determinar os limites de integração para
e
.
- A condição da região
dada por em polares se torna
- Como
, isso corresponde a
- A região é o anel completo em torno da origem (não há restrição de ângulo), portanto
Passo 4
Montar a integral em coordenadas polares.
- Substituindo
e , a integral fica
- Simplificando o integrando:
portanto a integral é
Passo 5
Calcular a integral passo a passo (faça igual na prova).
- Calcular a integral interna em
:
- Agora integrar em
:
Passo 6
Checagem rápida e interpretação (truque útil para a prova).
- Uma verificação alternativa: a integral de
sobre um disco de raio é
- Para o anel entre
e usa-se a diferença:
que coincide com o resultado calculado — bom sinal de que tudo está certo.