Esboce a região de integração e reescreva a integral trocando a ordem de integração. Em seguida, calcule a integral.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}(x+y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Esboçar a região de integração determinada pelos limites da integral.
  • Reescrever a integral trocando a ordem de integração (isto é, passar de dy\,dx para dx\,dy).
  • Calcular o valor da integral.
Informações fornecidas:
  • A integral dada é \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} (x+y)\,dy\,dx.
  • Os limites exteriores são x de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a 1-x.

Passo 2

Entender e esboçar a região de integração.
O conjunto dos pontos (x,y) que estão sendo integrados é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; 0\le y\le 1-x\}.
Vamos ver as curvas/retas que limitam D:
  • x=0 (eixo vertical),
  • y=0 (eixo horizontal),
  • y=1-x (reta com inclinação -1).
Determinar os vértices da região: interceptos da reta y=1-x com os eixos.
  • Interseção com x-eixo ( y=0): 0=1-x\Rightarrow x=1 → ponto (1,0).
  • Interseção com y-eixo ( x=0): y=1-0=1 → ponto (0,1).
    Também está o ponto (0,0).
Portanto D é o triângulo retângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Em palavras: todos os pontos no primeiro quadrante abaixo da reta x+y=1.

Passo 3

Determinar os limites ao trocar a ordem de integração.
Para trocar a ordem, projeta-se D no eixo y. A menor y em D é 0 e a maior é 1. Para um y fixo entre 0 e 1, x varia desde a borda esquerda x=0 até a borda direita dada por x=1-y (da reta x+y=1 obtém-se x=1-y).
Logo, a integral com ordem trocada é
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} (x+y)\,dx\,dy.

Passo 4

Calcular a integral na nova ordem \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} (x+y)\,dx\,dy.
Primeiro integramos em relação a x (tratando y como constante):
\int (x+y)\,dx = \frac{x^{2}}{2}+yx + C.
Avaliaremos entre x=0 e x=1-y:
\left.\left(\frac{x^{2}}{2}+yx\right)\right|_{0}^{1-y} = \frac{(1-y)^{2}}{2}+y(1-y) - 0.
Agora simplificar essa expressão passo a passo:
\frac{(1-y)^{2}}{2}+y(1-y) = \frac{1-2y+y^{2}}{2} + y - y^{2}.
Colocar em termos comuns:
= \frac{1}{2} - y + \frac{y^{2}}{2} + y - y^{2} = \frac{1}{2} +\left(-y+y\right) +\left(\frac{y^{2}}{2}-y^{2}\right).
Isso simplifica para
\frac{1}{2} + 0 - \frac{y^{2}}{2} = \frac{1-y^{2}}{2}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{1} \frac{1-y^{2}}{2}\,dy.

Passo 5

Continuar a integração em y.
Calcular
\int_{0}^{1} \frac{1-y^{2}}{2}\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1-y^{2})\,dy = \frac{1}{2}\left[ y - \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{1}.
Avaliar em y=1 e y=0:
\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Resposta

Região: triângulo com vértices (0,0),(1,0),(0,1), definido por \{(x,y)\mid 0\le x,\;0\le y,\;x+y\le1\}.
Integral com ordem trocada: \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} (x+y)\,dx\,dy.
Valor da integral: \displaystyle \frac{1}{3}.

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