Esboce a região de integração e reescreva a integral trocando a ordem de integração. Em seguida, calcule a integral.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}(x+y) d y d x
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
Esboçar a região de integração determinada pelos limites da integral.
Reescrever a integral trocando a ordem de integração (isto é, passar de dy\,dx para dx\,dy).
Calcular o valor da integral.
Informações fornecidas:
A integral dada é \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} (x+y)\,dy\,dx.
Os limites exteriores são x de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a 1-x.
Passo 2
Entender e esboçar a região de integração.
O conjunto dos pontos (x,y) que estão sendo integrados é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; 0\le y\le 1-x\}.
Vamos ver as curvas/retas que limitam D:
x=0 (eixo vertical),
y=0 (eixo horizontal),
y=1-x (reta com inclinação -1).
Determinar os vértices da região: interceptos da reta y=1-x com os eixos.
Interseção com x-eixo (y=0): 0=1-x\Rightarrow x=1 → ponto (1,0).
Interseção com y-eixo (x=0): y=1-0=1 → ponto (0,1).
Também está o ponto (0,0).
Portanto D é o triângulo retângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Em palavras: todos os pontos no primeiro quadrante abaixo da reta x+y=1.
Passo 3
Determinar os limites ao trocar a ordem de integração.
Para trocar a ordem, projeta-se D no eixo y. A menor y em D é 0 e a maior é 1. Para um y fixo entre 0 e 1, x varia desde a borda esquerda x=0 até a borda direita dada por x=1-y (da reta x+y=1 obtém-se x=1-y).
Logo, a integral com ordem trocada é
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} (x+y)\,dx\,dy.
Passo 4
Calcular a integral na nova ordem \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} (x+y)\,dx\,dy.
Primeiro integramos em relação a x (tratando y como constante):
Região: triângulo com vértices (0,0),(1,0),(0,1), definido por \{(x,y)\mid 0\le x,\;0\le y,\;x+y\le1\}.
Integral com ordem trocada: \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y} (x+y)\,dx\,dy.
Valor da integral: \displaystyle \frac{1}{3}.