$$ \iint_{R} (x{2}+y{2})^{2} d A \( onde \)R\( é o disco \)x^{2}+y^{2} \leq 2 e no primeiro quadrante.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral dupla
\iint_{R} (x^{2}+y^{2})^{2}\,dA
onde R é a parte do disco x^{2}+y^{2}\le 2 que está no primeiro quadrante.
Informações dadas e pedidos claros:
A região R é o disco de raio \sqrt{2}, cortado para ficar apenas no primeiro quadrante.
Deve-se calcular a integral dupla do integrando (x^{2}+y^{2})^{2} sobre essa região.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares e como elas funcionam (aula rápida e intuitiva).
Em coordenadas polares usa-se
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
O elemento de área dA em coordenadas cartesianas vira dA = r\,dr\,d\theta em polares. Intuição: um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então sua área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.
Regra geral de mudança de variáveis para integrais duplas:
Portanto o valor da integral pedida é \dfrac{2\pi}{3}.
Passo 7
Dica rápida para a prova (como reconhecer padrões):
Sempre que o integrando for função de x^{2}+y^{2} (ex.: (x^{2}+y^{2})^{n}, e^{x^{2}+y^{2}}, etc.), coordenadas polares costumam simplificar muito, porque x^{2}+y^{2}=r^{2} e o jacobiano introduz apenas um fator r.
Verifique a região: se é um disco ou setor de disco, os limites em r são simples e \theta corresponde ao ângulo do setor.