Calcule as integrais usando coordenadas polares.
$$ \iint_{R} (x{2}+y{2})^{2} d A \( onde \)R\( é o disco \)x^{2}+y^{2} \leq 2 e no primeiro quadrante.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral dupla
\iint_{R} (x^{2}+y^{2})^{2}\,dA
onde R é a parte do disco x^{2}+y^{2}\le 2 que está no primeiro quadrante.
Informações dadas e pedidos claros:
  • A região R é o disco de raio \sqrt{2}, cortado para ficar apenas no primeiro quadrante.
  • Deve-se calcular a integral dupla do integrando (x^{2}+y^{2})^{2} sobre essa região.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares e como elas funcionam (aula rápida e intuitiva).
  • Em coordenadas polares usa-se
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • O elemento de área dA em coordenadas cartesianas vira dA = r\,dr\,d\theta em polares. Intuição: um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então sua área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.
  • Regra geral de mudança de variáveis para integrais duplas:
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \iint_{R'} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta,
onde R' é a descrição da região em (r,\theta).

Passo 3

Expressar o integrando em polares e achar os limites.
  • O integrando (x^{2}+y^{2})^{2} em polares fica mais simples porque x^{2}+y^{2}=r^{2}. Então
(x^{2}+y^{2})^{2} = (r^{2})^{2} = r^{4}.
  • Multiplicando pelo jacobiano r, o integrando total em polares será r^{4}\cdot r = r^{5}.
  • Limites da região R:
    • Primeiro quadrante significa \theta variando de 0 até \tfrac{\pi}{2}, ou seja \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
    • Disco de raio \sqrt{2} significa r varia de 0 até \sqrt{2}, ou seja r\in[0,\sqrt{2}].

Passo 4

Montar a integral em coordenadas polares.
\iint_{R}(x^{2}+y^{2})^{2}\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{\sqrt{2}} r^{5}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna (em r).
  • Antiderivada de r^{5} é \dfrac{r^{6}}{6}. Portanto
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{5}\,dr = \left.\frac{r^{6}}{6}\right|_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{6}}{6}.
  • Calcular (\sqrt{2})^{6}:
(\sqrt{2})^{6} = (2^{1/2})^{6} = 2^{6/2} = 2^{3} = 8.
  • Logo a integral em r vale
\frac{8}{6} = \frac{4}{3}.

Passo 6

Calcular a integral externa (em \theta) e concluir.
  • Agora
\int_{0}^{\pi/2} \frac{4}{3}\,d\theta = \frac{4}{3}\left.\theta\right|_{0}^{\pi/2} = \frac{4}{3}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}.
  • Portanto o valor da integral pedida é \dfrac{2\pi}{3}.

Passo 7

Dica rápida para a prova (como reconhecer padrões):
  • Sempre que o integrando for função de x^{2}+y^{2} (ex.: (x^{2}+y^{2})^{n}, e^{x^{2}+y^{2}}, etc.), coordenadas polares costumam simplificar muito, porque x^{2}+y^{2}=r^{2} e o jacobiano introduz apenas um fator r.
  • Verifique a região: se é um disco ou setor de disco, os limites em r são simples e \theta corresponde ao ângulo do setor.

Resposta

\dfrac{2\pi}{3}

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