Calcule as integrais usando coordenadas polares.
\iint_{R} x y d A
onde R é o disco unitário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x y\, dA
onde R é o disco unitário. Informações dadas e o que é pedido:
  • Região R é o disco unitário, isto é
R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • A função a integrar é f(x,y)=x y.
  • Objetivo: encontrar o valor numérico de \iint_{R} x y\, dA.

Passo 2

Troca para coordenadas polares — motivo e fórmulas. Em coordenadas polares usamos duas variáveis \,r e \,\theta tais que:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo com o eixo x. Ao passar de (x,y) para (r,\theta), o elemento de área dA se transforma em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação intuitiva do fator r: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot (r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites em coordenadas polares para o disco unitário. O disco unitário é todos os pontos com x^{2}+y^{2}\le 1, isto é todos os pontos com r\le 1. Como é o disco inteiro em torno da origem, \theta percorre toda a volta. Portanto os limites são:
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 4

Expressar a função integranda em polares e montar a integral. A função x y em polares vira
x y = (r\cos\theta)(r\sin\theta)=r^{2}\cos\theta\sin\theta.
Multiplicando pelo Jacobiano r (o dA), o integrando total é
r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot r = r^{3}\cos\theta\sin\theta.
Assim a integral dupla se escreve como produto de integrais (separamos radiais e angulares):
\iint_{R} x y\, dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} r^{3}\cos\theta\sin\theta \,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral radial e a integral angular separadamente. Primeiro a parte em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Agora a parte angular em \theta:
usar a identidade trigonométrica
2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta),
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\cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta).
Então
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta.
Como \sin(2\theta) é uma função com período \pi e média zero ao longo de um múltiplo inteiro de períodos, tem integral nula sobre [0,2\pi]. Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = 0.

Passo 6

Combinar os resultados: a integral dupla é o produto da integral radial pela integral angular:
\iint_{R} x y\, dA = \left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right) = \frac{1}{4}\cdot 0 = 0.
Observação alternativa (intuição útil para prova): a função x y é ímpar em relação a trocar x por -x (ou por -y), e o disco é simétrico em relação ao eixo y (ou x); por simetria as contribuições positivas e negativas se cancelam, então a integral também deve ser zero.

Resposta

0

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