Calcule as integrais usando coordenadas polares.
onde
é o disco unitário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco unitário. Informações dadas e o que é pedido:
- Região
é o disco unitário, isto é
- A função a integrar é
. - Objetivo: encontrar o valor numérico de
.
Passo 2
Troca para coordenadas polares — motivo e fórmulas. Em coordenadas polares usamos duas variáveis
e
tais que:
Aqui
é a distância ao origem e
é o ângulo com o eixo
. Ao passar de
para
, o elemento de área
se transforma em
Explicação intuitiva do fator
: um pequeno retângulo em
tem lados aproximadamente
e
, então a área é
.
Passo 3
Determinar os limites em coordenadas polares para o disco unitário. O disco unitário é todos os pontos com
, isto é todos os pontos com
. Como é o disco inteiro em torno da origem,
percorre toda a volta. Portanto os limites são:
Passo 4
Expressar a função integranda em polares e montar a integral. A função
em polares vira
Multiplicando pelo Jacobiano
(o
), o integrando total é
Assim a integral dupla se escreve como produto de integrais (separamos radiais e angulares):
Passo 5
Calcular a integral radial e a integral angular separadamente. Primeiro a parte em
:
Agora a parte angular em
:
usar a identidade trigonométrica
usar a identidade trigonométrica
logo
Então
Como
é uma função com período
e média zero ao longo de um múltiplo inteiro de períodos, tem integral nula sobre
. Portanto
Passo 6
Combinar os resultados: a integral dupla é o produto da integral radial pela integral angular:
Observação alternativa (intuição útil para prova): a função
é ímpar em relação a trocar
por
(ou por
), e o disco é simétrico em relação ao eixo
(ou
); por simetria as contribuições positivas e negativas se cancelam, então a integral também deve ser zero.