Prove, utilizando a definição de limite, que:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}+2 x-1\right)=7

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to 2}\left(x^{2}+2x-1\right)=7.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}+2x-1.
  • O ponto onde queremos o limite é x=2.
  • O resultado a ser provado é que o limite vale 7.

Passo 2

Lembrete da definição de limite (a ferramenta que vamos usar): dizer que
\lim_{x\to 2} f(x)=7
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, então |f(x)-7|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é a margem de erro desejada para o valor de f(x) em relação a 7, e \delta é a tolerância na entrada x em torno de 2 que garante essa precisão. Nosso objetivo é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, indicar um valor de \delta>0 (em função de \varepsilon) que cumpra a condição acima.

Passo 3

Vamos manipular a expressão |f(x)-7| para ver como ela depende de |x-2|.
f(x)-7 = x^{2}+2x-1-7 = x^{2}+2x-8.
Fatorando o polinômio:
x^{2}+2x-8=(x-2)(x+4).
Portanto, para todo x,
|f(x)-7| = |x-2|\;|x+4|.
Isto é útil porque já aparece o fator |x-2| que queremos controlar; falta controlar o fator |x+4| por perto de x=2.

Passo 4

Para controlar |x+4| quando x está próximo de 2, impomos uma restrição simples sobre \delta. Tome, por exemplo, \delta\le 1. Se 0<|x-2|<1 então
-1<x-2<1 \quad\Rightarrow\quad 1<x<3.
Somando 4 a cada parte obtemos
5<x+4<7,
logo |x+4|<7. Assim, sempre que |x-2|<1 temos a desigualdade
|f(x)-7| = |x-2|\;|x+4| < 7\,|x-2|.

Passo 5

Agora fazemos a escolha de \delta em função de \varepsilon. Queremos garantir |f(x)-7|<\varepsilon. A partir da desigualdade anterior uma forma simples de conseguir isso é exigir 7\,|x-2|<\varepsilon, ou seja |x-2|<\varepsilon/7. Para também assegurar a hipótese que permitiu o fator 7 (isto é, |x-2|<1), escolhemos
\delta=\min\left(1,\frac{\varepsilon}{7}\right).
Verificação: seja \varepsilon>0 dado e tome \delta como acima. Se 0<|x-2|<\delta então, em particular, |x-2|<1 e |x-2|<\varepsilon/7. Pelas contas do passo anterior,
|f(x)-7| < 7\,|x-2| < 7\cdot\frac{\varepsilon}{7} = \varepsilon.
Portanto a condição da definição de limite é satisfeita: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o \delta que escolhemos) tal que 0<|x-2|<\delta implica |f(x)-7|<\varepsilon.

Passo 6

Concluímos, pelo argumento \varepsilon- \delta acima, que
\lim_{x\to 2}\left(x^{2}+2x-1\right)=7.
Boa! Isso mostra formalmente o que a intuição polinomial já sugeria: avaliando f em 2 obtemos f(2)=2^{2}+2\cdot2-1=7, e a prova \varepsilon- \delta garante a continuidade (no sentido do limite) nesse ponto.

Resposta

7

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