Prove, utilizando a definição de limite, que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos o limite é
. - O resultado a ser provado é que o limite vale
.
Passo 2
Lembrete da definição de limite (a ferramenta que vamos usar): dizer que
significa que para todo
existe
tal que, sempre que
, então
.
Aqui
é a margem de erro desejada para o valor de
em relação a
, e
é a tolerância na entrada
em torno de
que garante essa precisão. Nosso objetivo é, dado um
arbitrário, indicar um valor de
(em função de
) que cumpra a condição acima.
Passo 3
Vamos manipular a expressão
para ver como ela depende de
.
Fatorando o polinômio:
Portanto, para todo
,
Isto é útil porque já aparece o fator
que queremos controlar; falta controlar o fator
por perto de
.
Passo 4
Para controlar
quando
está próximo de
, impomos uma restrição simples sobre
. Tome, por exemplo,
. Se
então
Somando
a cada parte obtemos
logo
. Assim, sempre que
temos a desigualdade
Passo 5
Agora fazemos a escolha de
em função de
. Queremos garantir
. A partir da desigualdade anterior uma forma simples de conseguir isso é exigir
, ou seja
. Para também assegurar a hipótese que permitiu o fator
(isto é,
), escolhemos
Verificação: seja
dado e tome
como acima. Se
então, em particular,
e
. Pelas contas do passo anterior,
Portanto a condição da definição de limite é satisfeita: para todo
existe
(o
que escolhemos) tal que
implica
.
Passo 6
Concluímos, pelo argumento
-
acima, que
Boa! Isso mostra formalmente o que a intuição polinomial já sugeria: avaliando
em
obtemos
, e a prova
-
garante a continuidade (no sentido do limite) nesse ponto.