Mostre como encontrar a solução geral dos problemas de valores iniciais abaixo
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Vou listar as informações relevantes que já temos:
- A equação diferencial é de primeira ordem e linear no formato dado.
- A condição inicial é
.
A partir daqui vamos resolver passo a passo e aprender a técnica necessária.
Passo 2
Método a usar (aprender): fator integrante para equações lineares de primeira ordem. Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções conhecidas de
. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto
. Esse fator é dado por
Explicando: ao calcular
, queremos ter
, o que acontece se
satisfaz
, daí
. Depois integra-se ambos os lados e resolve-se para
.
Passo 3
Identificar
e
na nossa equação. Reescrevendo
na forma padrão
, obtemos
Calcular o fator integrante:
Passo 4
Multiplicar toda a equação original por
. Fazendo isso obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Portanto a equação transforma-se em
pois
. Aqui observei explicitamente que peguei o fator
e multipliqueio no termo do lado direito para obter
.
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. Precisamos calcular a integral do lado direito
. Vou fazer por partes para ficar clarinho.
Passo 6
Cálculo da integral por partes. Para
escolho
Pela fórmula de integração por partes
, temos
Como
, resulta
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à igualdade integrada, obtemos
Agora resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial (com
constante arbitrária).
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
:
Como
, temos
, logo
Passo 9
Substituir
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial: