Mostre como encontrar a solução geral dos problemas de valores iniciais abaixo
y^{\prime}-y=2 x e^{2 x}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' - y = 2x e^{2x}, \qquad y(0)=1.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Vou listar as informações relevantes que já temos:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e linear no formato dado.
  • A condição inicial é y(0)=1.
    A partir daqui vamos resolver passo a passo e aprender a técnica necessária.

Passo 2

Método a usar (aprender): fator integrante para equações lineares de primeira ordem. Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \big(\mu(x)\,y\big)'. Esse fator é dado por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Explicando: ao calcular \big(\mu y\big)'=\mu y' + \mu' y, queremos ter \mu'=\mu p(x), o que acontece se \mu satisfaz \mu'/\mu=p(x), daí \mu=e^{\int p}. Depois integra-se ambos os lados e resolve-se para y.

Passo 3

Identificar p(x) e q(x) na nossa equação. Reescrevendo
y' - y = 2x e^{2x}
na forma padrão y' + p(x)y = q(x), obtemos
p(x) = -1,\qquad q(x)=2x e^{2x}.
Calcular o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.

Passo 4

Multiplicar toda a equação original por \mu(x)=e^{-x}. Fazendo isso obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = 2x e^{2x} e^{-x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-x}y, porque
\big(e^{-x}y\big)' = e^{-x}y' + (e^{-x})' y = e^{-x}y' - e^{-x}y.
Portanto a equação transforma-se em
\big(e^{-x}y\big)' = 2x e^{x},
pois 2x e^{2x} e^{-x} = 2x e^{x}. Aqui observei explicitamente que peguei o fator e^{-x} e multipliqueio no termo do lado direito para obter 2x e^{x}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{-x}y\big)'\,dx = \int 2x e^{x}\,dx.
O lado esquerdo integra para e^{-x}y. Precisamos calcular a integral do lado direito \int 2x e^{x}\,dx. Vou fazer por partes para ficar clarinho.

Passo 6

Cálculo da integral por partes. Para \int 2x e^{x}\,dx escolho
u = 2x \quad\Rightarrow\quad du = 2\,dx,
dv = e^{x}\,dx \quad\Rightarrow\quad v = e^{x}.
Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = u v - \int v\,du, temos
\int 2x e^{x}\,dx = 2x e^{x} - \int e^{x}\cdot 2\,dx = 2x e^{x} - 2\int e^{x}\,dx.
Como \int e^{x}\,dx = e^{x}, resulta
\int 2x e^{x}\,dx = 2x e^{x} - 2 e^{x} + C = 2 e^{x}(x-1) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à igualdade integrada, obtemos
e^{-x}y = 2 e^{x}(x-1) + C.
Agora resolvemos para y multiplicando ambos os lados por e^{x}:
y = e^{x}\big(2 e^{x}(x-1) + C\big) = 2 e^{2x}(x-1) + C e^{x}.
Essa é a solução geral da equação diferencial (com C constante arbitrária).

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 em y:
y(0) = 2 e^{0}(0-1) + C e^{0} = 2\cdot 1\cdot(-1) + C\cdot 1 = -2 + C.
Como y(0)=1, temos -2 + C = 1, logo
C = 3.

Passo 9

Substituir C=3 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x) = 2 e^{2x}(x-1) + 3 e^{x}.

Resposta

y(x)=2 e^{2x}(x-1)+3 e^{x}

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