Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v:
integral r e^r / 2 d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral r e^r/2,dr usando a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula integral u,dv = u v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos u = r e dv = e^r/2,dr. Dessa forma, du = dr e precisamos determinar v = integral e^r/2,dr.

Passo 3

Para achar v, fazemos a substituição t = r/2, de modo que dr = 2,dt. Então temos:
v = integral e^r/2,dr = integral e^t cdot 2,dt = 2 e^t = 2 e^r/2

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos:
integral r e^r/2,dr = u v - integral v,du = r cdot 2 e^r/2 - integral 2 e^r/2,dr

Passo 5

Agora calculamos a integral remanescente integral 2 e^r/2,dr. Usando o mesmo procedimento, resulta:
integral 2 e^r/2,dr = 2 cdot 2 e^r/2 = 4 e^r/2

Passo 6

Substituindo de volta e simplificando, chegamos a:
integral r e^r/2,dr = 2r e^r/2 - 4 e^r/2 + C = 2 e^r/2(r - 2) + C

Resposta

2 e^r/2(r - 2) + C

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