Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v:
integral t sec ^2(2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral t sec^2(2t),dt usando integração por partes. O conteúdo da matéria é a fórmula de integração por partes: integral u,dv = u,v - integral v,du, e também precisamos saber que integral sec^2(ax),dx = tfrac1atan(ax) + C.

Passo 2

Escolhemos as funções para a integração por partes. Uma escolha estratégica é:
u = t, pois sua derivada é simples, e
dv = sec^2(2t),dt, já que sabemos integrar sec^2(2t).
Então derivamos e integramos:
du = dt
v = integral sec^2(2t),dt = 12tan(2t).

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral tsec^2(2t),dt = u,v - integral v,du
Substituindo:
= t cdot 12tan(2t) - integral 12tan(2t),dt
Isso dá:
= t2tan(2t) - 12 integral tan(2t),dt

Passo 4

Agora falta calcular integral tan(2t),dt. Usamos a identidade de integral da tangente:
integral tan(ax),dx = -1a lnl|cos(ax)r| + C
Logo,
integral tan(2t),dt = -12lnl|cos(2t)r| + C

Passo 5

Substituindo esse resultado de volta e agrupando a constante:
integral tsec^2(2t),dt = t2tan(2t) - 12l(-12lnlvertcos(2t)rvertr) + C = t2tan(2t) + 14lnl|cos(2t)r| + C

Resposta

t2tan(2t) + 14lnl|cos(2t)r| + C

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