Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
d) r(u)=1(u^2+e^2 u)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função r(u) = 1(u^2 + e^2u)^4 usando a regra da cadeia. A matéria é derivação de função composta e vamos precisar identificar função externa e interna.

Passo 2

Definimos a função interna h(u) = u^2 + e^2u e a função externa f(x) = x^-4. Pela regra da cadeia, r'(u) = f'(h(u)) cdot h'(u).
Derivamos a função interna e obtemos h'(u) = 2u + 2e^2u.
Derivamos a função externa e obtemos f'(x) = -4x^-5.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia: substituindo, temos r'(u) = -4,(h(u))^-5 cdot (2u + 2e^2u).
Substituindo h(u) e fatorando 2, chegamos a r'(u) = -8,(u + e^2u),(u^2 + e^2u)^-5.

Resposta

r'(u) = -8,u + e^2u(u^2 + e^2u)^5

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