Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v:
integral x cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral xcos(5x),dx usando o método de integração por partes. Nesse método, aplicamos a fórmula:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Para usar essa fórmula, precisamos escolher adequadamente u e dv.

Passo 2

Vamos escolher
u = x
e
dv = cos(5x),dx.
Derivando u e integrando dv, obtemos:
du = dx
v = integral cos(5x),dx = 15sin(5x)
Aqui usamos que integral cos(ax),dx = tfrac1asin(ax).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral xcos(5x),dx = xcdot 15sin(5x) - integral 15sin(5x),dx
Podemos fatorar o 1/5 da integral remanescente.

Passo 4

Precisamos então calcular
integral sin(5x),dx. Sabemos que
integral sin(5x),dx = -15cos(5x)
pois integral sin(ax),dx = -tfrac1acos(ax).

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos:
integral xcos(5x),dx = xsin(5x)5 - 15l(-15cos(5x)r) + C = xsin(5x)5 + cos(5x)25 + C
Esse é o resultado final da integral por partes, com C sendo a constante de integração.

Resposta

xsin(5x)5 + cos(5x)25 + C

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