Calcule a transformada de Laplace inversa:
F(s)=3(s-1)(s^2+4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada de Laplace inversa da função . Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, mais especificamente do tópico de frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a técnica de frações parciais. A ideia aqui é reescrever 3(s-1)(s^2+4) = As-1 + Bs + Cs^2+4 como a soma de frações mais simples, cujas transformadas inversas a gente já sabe. Então, vamos assumir que:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 3 = A(s^2 + 4) + (Bs + C)(s - 1) , 3 = A s^2 + 4A + Bs^2 - Bs + Cs - C e 3 = (A + B)s^2 + (C - B)s + (4A - C) . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por A + B = 0 C - B = 0 4A - C = 3 para eliminar os denominadores:
A = 35, B = -35, C = -35
Expandindo os termos:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Como essa igualdade deve valer para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Resolvendo esse sistema:
  1. De , temos .
  2. De , substituindo , temos .
  3. Substituindo em : .
Então:

Passo 4

Com os valores de 3(s-1)(s^2+4) = 35s-1 + -35s - 35s^2+4 , F(s) = 35 cdot 1s-1 - 35 cdot ss^2+4 - 35 cdot 1s^2+4 e encontrados, a decomposição fica:
Podemos simplificar:
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente.

Passo 5

Lembrando das tabelas de transformadas de Laplace inversas:
  1. L^-1F(s) = 35 e^t - 35 cos(2t) - 35 cdot 12 sin(2t)
  2. L^-1F(s) = 35 e^t - 35 cos(2t) - 310 sin(2t)
Aplicando isso em cada termo:
Simplificando:

Resposta

A transformada de Laplace inversa de f(t) = 35 e^t - 35 cos(2t) - 310 sin(2t) é:

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