Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada de Laplace inversa da função . Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, mais especificamente do tópico de frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a técnica de frações parciais. A ideia aqui é reescrever como a soma de frações mais simples, cujas transformadas inversas a gente já sabe. Então, vamos assumir que:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Como essa igualdade deve valer para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Resolvendo esse sistema:
De , temos .
De , substituindo , temos .
Substituindo em : → → .
Então:
Passo 4
Com os valores de 3(s-1)(s^2+4) = 35s-1 + -35s - 35s^2+4 , F(s) = 35 cdot 1s-1 - 35 cdot ss^2+4 - 35 cdot 1s^2+4 e encontrados, a decomposição fica:
Podemos simplificar:
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente.
Passo 5
Lembrando das tabelas de transformadas de Laplace inversas: