Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v:
integral cos x ln sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos x ln(sin x),dx usando o método de integração por partes. Vamos aplicar a teoria de que integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos as funções de forma a simplificar a integral: definimos u = ln(sin x) e dv = cos x,dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = ddxl(ln(sin x)r),dx = cos xsin x,dx = cot x,dx
v = integral cos x,dx = sin x

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral cos x ln(sin x),dx = u,v - integral v,du = sin x ln(sin x) - integral sin x cdot cot x,dx

Passo 5

Observamos que sin xcdotcot x = sin x cdot cos xsin x = cos x. Então:
integral sin x cdot cot x,dx = integral cos x,dx = sin x

Passo 6

Substituindo de volta, obtemos:
integral cos x ln(sin x),dx = sin x ln(sin x) - sin x + C

Resposta

sin x ln(sin x) - sin x + C

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