Calcule as integrais usando integração por partes.
integral0^1 e^3 x cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^1 e^3 x cos (2 x) d x usando integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é produto de duas funções, como é o caso aqui: uma função exponencial e^3x e uma função trigonométrica cos(2x). Vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes e saber escolher bem quais partes serão u e dv para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar u e dv. Geralmente, escolhemos u como a função que simplifica ao derivar e dv como a função que sabemos integrar facilmente.
  • Escolha de u e dv:
    • u = e^3x
    • dv = cos(2x) dx
Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u:
    • du = ddx e^3x dx = 3 e^3x dx
  • Integrando dv:
    • v = integral cos(2x) dx = 12 sin(2x)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral e^3x cos(2x) dx = e^3x cdot 12 sin(2x) - integral 12 sin(2x) cdot 3 e^3x dx
Simplificando:
integral e^3x cos(2x) dx = e^3x sin(2x)2 - 32 integral e^3x sin(2x) dx

Passo 4

Agora, vamos precisar calcular a integral integral e^3x sin(2x) dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral.
  • Escolha de u e dv para a nova integral:
    • u = e^3x
    • dv = sin(2x) dx
Calculando du e v:
  • Derivando u:
    • du = 3 e^3x dx
  • Integrando dv:
    • v = -12 cos(2x)

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes na nova integral:
integral e^3x sin(2x) dx = e^3x cdot (-12) cos(2x) - integral (-12) cos(2x) cdot 3 e^3x dx
Simplificando:
integral e^3x sin(2x) dx = -e^3x cos(2x)2 + 32 integral e^3x cos(2x) dx

Passo 6

Voltando à nossa expressão original, substituímos a integral que acabamos de encontrar:
integral e^3x cos(2x) dx = e^3x sin(2x)2 - 32 ( -e^3x cos(2x)2 + 32 integral e^3x cos(2x) dx )
Distribuindo o -32:
integral e^3x cos(2x) dx = e^3x sin(2x)2 + 3 e^3x cos(2x)4 - 94 integral e^3x cos(2x) dx

Passo 7

Agora, vamos chamar nossa integral original de I:
I = integral e^3x cos(2x) dx
Substituindo na equação:
I = e^3x sin(2x)2 + 3 e^3x cos(2x)4 - 94 I
Vamos isolar I:
I + 94 I = e^3x sin(2x)2 + 3 e^3x cos(2x)4
Somando os termos com I:
134 I = e^3x sin(2x)2 + 3 e^3x cos(2x)4
Multiplicando ambos os lados por 413 para isolar I:
I = 413 ( e^3x sin(2x)2 + 3 e^3x cos(2x)4 )
Simplificando:
I = 2 e^3x sin(2x) + 3 e^3x cos(2x)13

Resposta

Portanto, a integral definida é:
integral0^1 e^3 x cos (2 x) d x = [ 2 e^3x sin(2x) + 3 e^3x cos(2x)13 ]0^1 = 2 e^3 sin(2) + 3 e^3 cos(2) - 313

Exercícios relacionados