Calcule as integrais usando integração por partes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
usando integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é produto de duas funções, como é o caso aqui: uma função exponencial
e uma função trigonométrica
. Vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes e saber escolher bem quais partes serão
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que simplifica ao derivar e
como a função que sabemos integrar facilmente.
- Escolha de
e : -
Agora, vamos calcular
e
:
-
Derivando
: -
-
Integrando
: -
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos precisar calcular a integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral.
- Escolha de
e para a nova integral: -
Calculando
e
:
-
Derivando
: -
-
Integrando
: -
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes na nova integral:
Simplificando:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original, substituímos a integral que acabamos de encontrar:
Distribuindo o
:
Passo 7
Agora, vamos chamar nossa integral original de
:
Substituindo na equação:
Vamos isolar
:
Somando os termos com
:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a integral definida é: