Resolva as integrais trigonométricas.
integral0^1 / 4 sec (pi x) tan (pi x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral trigonométrica: integral0^1/4 sec (pi x) tan (pi x) , dx. Aqui, vamos trabalhar com funções trigonométricas e usar técnicas de integração básica para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as funções sec e tan. A função sec(theta) é o inverso do cosseno, ou seja, sec(theta) = 1cos(theta). Já a função tan(theta) é o seno dividido pelo cosseno, ou seja, tan(theta) = sin(theta)cos(theta).
Então, podemos reescrever a integral assim:
integral0^1/4 sec(pi x) tan(pi x) , dx = integral0^1/4 1cos(pi x) cdot sin(pi x)cos(pi x) , dx = integral0^1/4 sin(pi x)cos^2(pi x) , dx

Passo 3

Agora, vamos usar uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar u = cos(pi x). Para encontrar du, derivamos u em relação a x:
du = -pi sin(pi x) , dx Rightarrow sin(pi x) , dx = -1pi , du

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral0^1/4 sin(pi x)cos^2(pi x) , dx = integralu(0)^u(1/4) -1pi , duu^2 = -1pi integralu(0)^u(1/4) u^-2 , du

Passo 5

Antes de integrar, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição feita:
u(0) = cos(0) = 1
u(14) = cos(pi cdot 14) = cos(pi4) = raiz22

Passo 6

Agora, vamos integrar u^-2:
integral u^-2 , du = -u^-1 + C
Aplicando isso na nossa integral:
-1pi [ -u^-1 ]1^raiz22 = 1pi [ 1u ]1^raiz22 = 1pi ( 2raiz2 - 1 )

Passo 7

Simplificando 2raiz2:
2raiz2 = raiz2
Então, a expressão fica:
1pi ( raiz2 - 1 )

Resposta

A integral avaliada é raiz2 - 1pi.

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