Verifique o Teorema de Stokes (calcule os dois lados da igualdade) para o campo F=(-z, y z, x) e a superfície cilíndrica (não fechada) x^2+z^2=1, entre os planos y=0 e y+z=2, orientada para fora.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos o campo vetorial vec F=( -z,,y z,,x) e a superfície cilíndrica aberta x^2+z^2=1 limitada pelos planos y=0 e y+z=2, orientada para fora. O objetivo é verificar o Teorema de Stokes calculando tanto
integral duplaS (nablatimesvec F)cdothat n,dS
quanto
ointpartial Svec Fcdot dvec r
.

Passo 2

Cálculo do rotacional: Usamos
nablatimesvec F = l(partial Fzpartial y-partial Fypartial z,;partial Fxpartial z-partial Fzpartial x,;partial Fypartial x-partial Fxpartial yr)
Como Fx=-z,;Fy=yz,;Fz=x, obtemos
nablatimesvec F = (-y,,-2,,0)

Passo 3

Integral de superfície: Parametrizamos a casca do cilindro por
vec r(theta,y) = (costheta,;y,;sintheta),
com thetain[0,2pi] e yin[0,,2-sintheta]. O vetor normal unitário para fora é
hat n = (costheta,0,sintheta),
e dS=dtheta,dy. Então
(nablatimesvec F)cdothat n = (-y,-2,0)cdot(costheta,0,sintheta) = -ycostheta
A integral fica
integral duplaS (nablatimesvec F)cdothat n,dS = integral0^2piintegral0^2-sintheta(-ycostheta),dy,dtheta =-tfrac12integral0^2picostheta,(2-sintheta)^2,dtheta = 0

Passo 4

Integral de linha no contorno: O contorno partial S tem duas curvas:
  1. C1: y=0,;x=costheta,;z=sintheta,;theta:0to2pi.
    Então dvec r1 = (-sintheta,0,costheta)dtheta, vec F = (-sintheta,0,costheta) e integralC1vec Fcdot dvec r = integral0^2pi(sin^2theta+cos^2theta)dtheta = 2pi
  2. C2: interseção com y+z=2, parametrizada por x=cos u,;z=sin u,;y=2-sin u,;u:2pito0.
    Calcula-se dvec r2 =(-sin u, -cos u, cos u)du, vec F=(-sin u,(2-sin u)sin u,cos u), e integralC2vec Fcdot dvec r = -2pi
Somando as duas partes dá zero.

Passo 5

Conclusão: Como a integral de superfície e a integral de linha valem ambas zero, o Teorema de Stokes está verificado.

Resposta

integral duplaS (nablatimesvec F)cdothat n,dS = 0 = ointpartial Svec Fcdot dvec r.

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