Calcule os limites:
lim x 1 raizx-1raiz[3]x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1raizx-1raiz[3]x-1. O tópico aqui é limite de função com forma indeterminada, e vamos precisar reconhecer a indeterminação 0/0 e usar a regra de l’Hôpital, além de saber derivar potências.

Passo 2

Substituindo diretamente x=1 temos raiz1-1=0 e raiz[3]1-1=0, ou seja, forma indeterminada 0/0, então não dá para concluir o valor do limite assim.

Passo 3

Pela regra de l’Hôpital, quando um limite limxto af(x)/g(x) 0/0, podemos derivar numerador e denominador:
limxto1raizx-1raiz[3]x-1=limxto1ddx(raizx-1)ddx(raiz[3]x-1)
Calculando as derivadas:
ddx(raizx-1)=12raizx,
ddx(raiz[3]x-1)=13x^2/3

Passo 4

Agora avaliamos ambas em x=1:
ddx(raizx-1)|x=1=12,
ddx(raiz[3]x-1)|x=1=13

Passo 5

O limite se torna o quociente dessas derivadas, ou seja:
limxto1raizx-1raiz[3]x-1=1213=32

Resposta

32

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