Calcule as integrais usando integração por partes e as seguintes escolhas de
e
:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Nesse exercício vamos usar integração por partes para calcular duas integrais indefinidas. A técnica envolve a fórmula
. Vamos identificar
,
, encontrar
e
a partir das escolhas dadas, e aplicar a fórmula.
Passo 2
Para a parte (a)
com
e
, temos
e
$$v = \int x,dx = \tfrac{x^2}{2}.
\int x\ln(x),dx = u,v - \int v,du = \ln(x)\frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x},dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2},dx.
\frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C.
$$
Passo 3
Para a parte (b)
com
e
, temos
e
$$v = \int \sec^2(\theta),d\theta = \tan(\theta).
\int \theta\sec^2(\theta),d\theta = u,v - \int v,du = \theta\tan(\theta) - \int \tan(\theta),d\theta.
\theta\tan(\theta) - \ln|\sec(\theta)| + C.
$$
Resposta
a)
; b)
.