Calcule as integrais usando integração por partes e as seguintes escolhas de u e d v :
a) integral x ln (x) d x, u=ln (x), d v=x d x
b) integral theta sec ^2(theta) d theta, u=theta, d v=sec ^2(theta) d theta

Passo 1

Nesse exercício vamos usar integração por partes para calcular duas integrais indefinidas. A técnica envolve a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos identificar u, dv, encontrar du e v a partir das escolhas dadas, e aplicar a fórmula.

Passo 2

Para a parte (a) integral xln(x),dx com u=ln(x) e dv = x,dx, temos du = tfrac1xdx e
$$v = \int x,dx = \tfrac{x^2}{2}.
v = integral x,dx = tfracx^22 ó
\int x\ln(x),dx = u,v - \int v,du = \ln(x)\frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x},dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2},dx.
integral xln(x),dx = u,v - integral v,du = ln(x)x^22 - integral x^22cdot 1x,dx = x^22ln(x) - integral x2,dx íé
\frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C.
$$

Passo 3

Para a parte (b) integral thetasec^2(theta),dtheta com u=theta e dv=sec^2(theta),dtheta, temos du = dtheta e
$$v = \int \sec^2(\theta),d\theta = \tan(\theta).
v = integral sec^2(theta),dtheta = tan(theta)
\int \theta\sec^2(\theta),d\theta = u,v - \int v,du = \theta\tan(\theta) - \int \tan(\theta),d\theta.
integral thetasec^2(theta),dtheta = u,v - integral v,du = thetatan(theta) - integral tan(theta),dtheta
\theta\tan(\theta) - \ln|\sec(\theta)| + C.
$$

Resposta

a) x^22ln(x) - x^24 + C; b) thetatan(theta) - ln|sec(theta)| + C.

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