Considere a função g(x)=2 x-6x-5, determine:
$c) A imagem da função c) A ima>=m da função .

Passo 1

Aqui temos uma função racional do tipo g(x)=2x-6x-5. A tarefa é encontrar a imagem (conjunto de valores y que g(x) pode assumir). Para isso vamos usar a ideia de resolver a equação y=tfrac2x-6x-5 e ver para quais y existe solução em x (com xneq5, pois esse é o domínio).

Passo 2

Escrevendo y=tfrac2x-6x-5 e isolando x na equação, temos:
y(x-5)=2x-6
yx-5y=2x-6
x(y-2)=5y-6
x=5y-6y-2, yneq2

Passo 3

Para que cada yneq2 gere um x válido, precisamos garantir que esse x não coincida com a restrição xneq5. Vamos checar:
5y-6y-2=5
implica
5y-6=5(y-2)implies5y-6=5y-10implies-6=-10,
um absurdo. Logo, para todo yneq2 o x obtido não é 5, então existe mesmo x no domínio.

Passo 4

Falta verificar o caso y=2 diretamente na definição:
2=2x-6x-5implies2x-6=2x-10implies-6=-10
que é impossível. Portanto y=2 também não é atingido.

Passo 5

Concluímos que todos os valores reais, exceto 2, são atingidos por g(x).

Resposta

Im(g)=\mathbb{R}\setminus{2}

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