Calcule as seguintes integrais indefinidas:
p) integral x^a(raizb+c x^a+1) d x c neq 0, a neq-1
q) integral x1+x^2 d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular duas integrais indefinidas usando substituição simples. O conteúdo é integração por substituição e vamos precisar reconhecer a estrutura da derivada interna de uma função para simplificar.

Passo 2

Para a integral p) integral x^a raizb + c x^a+1,dx, fazemos a substituição u = b + c x^a+1. Então du = c(a+1)x^a,dx e x^a,dx = duc(a+1). A integral vira
integral x^araizb+c x^a+1,dx = integral raizu ;duc(a+1) = 1c(a+1) integral u^1/2,du

Passo 3

Continuando a p), calculamos integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23u^3/2. Logo
integral x^a raizb + c x^a+1,dx = 1c(a+1) cdot 23 u^3/2 + C = 23c(a+1)(b + c x^a+1)^3/2 + C

Passo 4

Para a integral q) integral x1+x^2,dx, usamos a substituição v = 1 + x^2. Então dv = 2x,dx e x,dx = tfrac12 dv. A integral fica
integral x1+x^2,dx = 12 integral dvv = 12ln|v| + C = 12ln(1+x^2) + C

Resposta

p) 23c(a+1)(b + c x^a+1)^3/2 + C
q) 12ln(1+x^2) + C

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