Calcule as integrais usando o método mais adequado
112. \int \cos ^{2}(k x) d x
lembre que \sin ^{2}(\theta)=\frac{1-\cos (2 \theta)}{2}
lembre que \cos ^{2}(\theta)=\frac{1+\cos (2 \theta)}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{2}(k x)\,dx
que é um caso de integração de função trigonométrica. Para resolver, vamos usar a identidade de redução de potência
\cos^{2}(\theta)=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.

Passo 2

Aplicamos a identidade com \theta = kx, obtendo
\cos^{2}(k x)=\frac{1+\cos(2kx)}{2}.

Passo 3

Substituindo no integrando, a integral vira
\int \cos^{2}(k x)\,dx =\int \frac{1+\cos(2kx)}{2}\,dx =\int \Bigl(\tfrac12 + \tfrac12\cos(2kx)\Bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
  • \displaystyle \int \tfrac12\,dx = \tfrac12\,x.
  • \displaystyle \int \tfrac12\cos(2kx)\,dx = \tfrac12\cdot \frac{\sin(2kx)}{2k} = \frac{\sin(2kx)}{4k}.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
\int \cos^{2}(kx)\,dx =\frac{x}{2}+\frac{\sin(2kx)}{4k}+C.

Resposta

\boxed{\int \cos^{2}(k x)\,dx =\frac{x}{2}+\frac{\sin(2kx)}{4k}+C.}

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