Desenhe um campo de direções para a equaçăo diferencial dada. Determine o comportamento de y quando t \rightarrow \infty. Se esse comportamento depender do valor inicial de y \mathrm{em} t=0. descreva essa dependência.
y^{\prime}=3-2 y

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos o campo de direções da equação diferencial autonôma
y' = 3 - 2y
e para determinarmos o comportamento de y(t) quando t \to \infty, descrevendo como isso depende do valor inicial y(0)=y_0. Vamos usar análise de equilíbrio e depois resolver explicitamente a EDO.

Passo 2

Para montar o campo de direções, note que em cada ponto (t,y) a inclinação da reta tangente é
y' = 3 - 2y,
ou seja, depende só de y.
  • Se y = \tfrac32, então y' = 0 e as setas são horizontais.
  • Se y < \tfrac32, então 3 - 2y > 0 e as setas sobem.
  • Se y > \tfrac32, então 3 - 2y < 0 e as setas descem.
    Assim, no esboço vemos linhas horizontais de setas em cada nível de y, mudando de direção ao cruzar y=\tfrac32.

Passo 3

Agora resolvemos a EDO linear
\frac{dy}{dt} + 2y = 3.
A homogênea associada é \displaystyle y_h = Ce^{-2t}. Buscamos uma solução particular constante y_p. Substituindo y_p na equação, vem
0 + 2y_p = 3 \quad\Longrightarrow\quad y_p = \frac{3}{2}.
Logo a solução geral é
y(t) = Ce^{-2t} + \frac{3}{2},
onde a constante C é fixada por y(0)=y_0, isto é C = y_0 - \tfrac32.

Passo 4

Para t \to \infty temos e^{-2t}\to0, então
\lim_{t\to\infty}y(t) = \frac{3}{2}.
Em particular:
  • Se y_0 > \tfrac32, então C>0 e y(t) decresce exponencialmente até \tfrac32.
  • Se y_0 < \tfrac32, então C<0 e y(t) cresce exponencialmente até \tfrac32.
  • Se y_0 = \tfrac32, então C=0 e y(t)\equiv \tfrac32 é solução constante.

Resposta

O campo de direções mostra setas horizontais em y=\tfrac32, apontando para cima quando y<\tfrac32 e para baixo quando y>\tfrac32.
Todas as soluções tendem a
\lim_{t\to\infty}y(t) = \frac{3}{2},
aproximando-se de modo decrescente se y_0>\tfrac32, crescente se y_0<\tfrac32 e constante se y_0=\tfrac32.

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