Desenhe um campo de direções para a equaçăo diferencial dada. Determine o comportamento de y quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
. descreva essa dependência.
y^{\prime}=3-2 y
y^{\prime}=3-2 y
Passo 1
O enunciado pede para desenharmos o campo de direções da equação diferencial autonôma
e para determinarmos o comportamento de
quando
, descrevendo como isso depende do valor inicial
. Vamos usar análise de equilíbrio e depois resolver explicitamente a EDO.
Passo 2
Para montar o campo de direções, note que em cada ponto
a inclinação da reta tangente é
ou seja, depende só de
.
- Se
, então e as setas são horizontais. - Se
, então e as setas sobem. - Se
, então e as setas descem.
Assim, no esboço vemos linhas horizontais de setas em cada nível de, mudando de direção ao cruzar .
Passo 3
Agora resolvemos a EDO linear
A homogênea associada é
. Buscamos uma solução particular constante
. Substituindo
na equação, vem
Logo a solução geral é
onde a constante
é fixada por
, isto é
.
Passo 4
Para
temos
, então
Em particular:
- Se
, então e decresce exponencialmente até . - Se
, então e cresce exponencialmente até . - Se
, então e é solução constante.
Resposta
O campo de direções mostra setas horizontais em
, apontando para cima quando
e para baixo quando
.
Todas as soluções tendem a
Todas as soluções tendem a
aproximando-se de modo decrescente se
, crescente se
e constante se
.