Desenhe um campo de direções para a equaçăo diferencial dada. Determine o comportamento de y quando t \rightarrow \infty. Se esse comportamento depender do valor inicial de y \mathrm{em} t=0. descreva essa dependência.
y^{\prime}=2 y-3

Passo 1

O enunciado dá a EDO autonôma de primeira ordem
y' = 2y - 3
e pede (i) o campo de direções e (ii) o comportamento de y(t) quando t \to \infty, discutindo eventual dependência de y(0). Para isso vamos precisar identificar equilibria, esboçar qualitativamente as inclinações no plano (t,y) e, se necessário, resolver a EDO explicitamente.

Passo 2

Encontramos os pontos de equilíbrio impondo
2y - 3 = 0
ou seja
y = \tfrac{3}{2}.
Esse valor de y faz y'=0, logo as soluções constantes y(t)=\tfrac{3}{2} são as retas horizontais do campo de direções.

Passo 3

Para esboçar o campo de direções, note que em cada ponto (t,y) a inclinação é
y' = 2y - 3.
– Se y > \tfrac{3}{2}, então 2y-3>0 e as setas apontam para cima.
– Se y < \tfrac{3}{2}, então 2y-3<0 e as setas apontam para baixo.
– Em y=\tfrac{3}{2} as setas são horizontais.
Além disso, o campo não varia com t, pois a EDO é autonôma.

Passo 4

Para entender a dependência de y(0), resolvemos a EDO. É linear de coeficiente constante:
\frac{dy}{dt} - 2y = -3.
A solução geral é soma da homogênea y_h = Ce^{2t} com uma particular constante y_p = \tfrac{3}{2}. Portanto
y(t) = C e^{2t} + \tfrac{3}{2}.
Impondo y(0)=y_0 obtém-se
C = y_0 - \tfrac{3}{2},
logo
y(t) = \bigl(y_0 - \tfrac{3}{2}\bigr)e^{2t} + \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Analisando t\to\infty:
  • Se y_0 - \tfrac{3}{2}>0, então o termo exponencial cresce e y(t)\to +\infty.
  • Se y_0 - \tfrac{3}{2}<0, então o termo exponencial fica grande em módulo mas negativo, logo y(t)\to -\infty.
  • Se y_0 = \tfrac{3}{2}, então C=0 e a solução fica constante em \tfrac{3}{2}.

Resposta

O campo de direções tem inclinação positiva acima de y=\tfrac{3}{2}, negativa abaixo e horizontais em y=\tfrac{3}{2}. Quanto a t\to\infty, temos
  • y(t)\to +\infty se y(0)>\tfrac{3}{2},
  • y(t)\to -\infty se y(0)<\tfrac{3}{2},
  • y(t)\equiv \tfrac{3}{2} se y(0)=\tfrac{3}{2}.

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