Desenhe um campo de direções para a equaçăo diferencial dada. Determine o comportamento de y quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
. descreva essa dependência.
y^{\prime}=2 y-3
y^{\prime}=2 y-3
Passo 1
O enunciado dá a EDO autonôma de primeira ordem
e pede (i) o campo de direções e (ii) o comportamento de
quando
, discutindo eventual dependência de
. Para isso vamos precisar identificar equilibria, esboçar qualitativamente as inclinações no plano
e, se necessário, resolver a EDO explicitamente.
Passo 2
Encontramos os pontos de equilíbrio impondo
ou seja
Esse valor de
faz
, logo as soluções constantes
são as retas horizontais do campo de direções.
Passo 3
Para esboçar o campo de direções, note que em cada ponto
a inclinação é
– Se
, então
e as setas apontam para cima.
– Se , então
e as setas apontam para baixo.
– Em as setas são horizontais.
Além disso, o campo não varia com , pois a EDO é autonôma.
– Se
– Em
Além disso, o campo não varia com
Passo 4
Para entender a dependência de
, resolvemos a EDO. É linear de coeficiente constante:
A solução geral é soma da homogênea
com uma particular constante
. Portanto
Impondo
obtém-se
logo
Passo 5
Analisando
:
- Se
, então o termo exponencial cresce e . - Se
, então o termo exponencial fica grande em módulo mas negativo, logo . - Se
, então e a solução fica constante em .
Resposta
O campo de direções tem inclinação positiva acima de
, negativa abaixo e horizontais em
. Quanto a
, temos
-
se , -
se , -
se .