Calcule as integrais usando o método das frações parciais:
integral 1x(x^2-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 1x(x^2-1) dx. A gente vai usar o método das frações parciais, que é uma técnica para decompor frações racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos fatorar o denominador e encontrar constantes que facilitam essa decomposição.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador. Temos x(x^2-1), que pode ser escrito como x(x-1)(x+1). Agora, a fração original fica:
1x(x-1)(x+1)

Passo 3

Agora, vamos supor que essa fração pode ser decomposta em somas de termos mais simples:
1x(x-1)(x+1) = Ax + Bx-1 + Cx+1
Aqui, A, B e C são constantes que vamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum x(x-1)(x+1):
1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)

Passo 5

Agora, vamos escolher valores de x que simplifiquem a equação para encontrar cada constante:
Para x = 0:
1 = A(-1)(1) Rightarrow A = -1
Para x = 1:
1 = B(1)(2) Rightarrow B = 12
Para x = -1:
1 = C(-1)(-2) Rightarrow C = 12

Passo 6

Com A = -1, B = 12 e C = 12, a decomposição fica:
1x(x-1)(x+1) = -1x + 12x-1 + 12x+1

Passo 7

Agora, vamos integrar termo por termo:
integral 1x(x^2-1) dx = integral ( -1x + 1/2x-1 + 1/2x+1 ) dx

Passo 8

Integrando cada termo separadamente:
- integral 1x dx + 12 integral 1x-1 dx + 12 integral 1x+1 dx
Isso resulta em:
- ln|x| + 12 ln|x-1| + 12 ln|x+1| + C

Resposta

A integral integral 1x(x^2-1) dx é igual a:
- ln|x| + 12 ln|x-1| + 12 ln|x+1| + C

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