Calcule as integrais usando o método das frações parciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar o método das frações parciais, que é uma técnica para decompor frações racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos fatorar o denominador e encontrar constantes que facilitam essa decomposição.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador. Temos
, que pode ser escrito como
. Agora, a fração original fica:
Passo 3
Agora, vamos supor que essa fração pode ser decomposta em somas de termos mais simples:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos descobrir.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Passo 5
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação para encontrar cada constante:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Com
,
e
, a decomposição fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo por termo:
Passo 8
Integrando cada termo separadamente:
Isso resulta em:
Resposta
A integral
é igual a: