Dada a equação do plano a x+b y+c z+d=0, estude e esboce os gráficos quando: a=3, b=0, c=2, d=-12.

Passo 1

Temos a equação geral de um plano em R^3: a x + b y + c z + d = 0. Aqui foi dado a=3, b=0, c=2, d=-12. O conteúdo é geometria analítica de planos: vamos precisar achar a forma explícita, os interceptos com os eixos, a representação paramétrica e entender a orientação para depois esboçar.

Passo 2

Substituindo os valores no formato geral, obtemos:
3x + 0,y + 2z -12 = 0
que simplifica para
3x + 2z -12 = 0

Passo 3

Para visualizar melhor, isolamos z. Da equação
3x + 2z -12 = 0
temos
2z = 12 - 3x Longrightarrow z = 6 - tfrac32x

Passo 4

Agora encontramos os interceptos com cada eixo:
  • Eixo x: ponha y=0 e z=0. Da equação 3x -12=0 vem x=4. Então o ponto é (4,0,0).
  • Eixo z: ponha x=0 e y=0. Da equação 2z-12=0 vem z=6. Então o ponto é (0,0,6).
  • Eixo y: ponha x=0 e z=0. A equação fica 0=12, impossível, mas como não há y na equação original, o plano é paralelo ao eixo y (não o intercepta num único ponto).

Passo 5

Podemos também dar a forma paramétrica do plano. Escolhemos parâmetros u=x e v=y. Como z=6-tfrac32u, temos
vec r(u,v)=l(x,y,zr)=(u,,v,,6-tfrac32u)

Passo 6

Isso mostra que o plano é gerado pela reta de interseção com o plano y=0 (liga (4,0,0) a (0,0,6)) e pela direção do eixo y.
Para esboçar, imagine primeiro a reta no plano x!z que passa por (4,0,0) e (0,0,6). Depois “esticamos” essa reta em toda a direção do eixo y (para frente e para trás). Fica um plano vertical, inclinado no sentido de formar declive de -tfrac32 no eixo x.

Resposta

A equação fica 3x+2z-12=0. Intercepta o eixo x em (4,0,0) e o eixo z em (0,0,6), é paralelo ao eixo y, e sua interseção com o plano xz é a reta que liga (4,0,0) a (0,0,6), estendida na direção de y.

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