Calcule as integrais usando substituição trigonométrica.
integral 1x^2 raizx^2-4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 1x^2raizx^2-4,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integração de funções envolvendo raizx^2-a^2 e vamos precisar da substituição x=asectheta, aqui com a=2.

Passo 2

Fazendo a substituição trigonométrica definimos x=2sectheta. Logo,
dx=2secthetatantheta,dthetae raizx^2-4=raiz4sec^2theta-4=2tantheta

Passo 3

Substituindo na integral original temos
integral 1x^2raizx^2-4,dx=integral 1(2sectheta)^2,(2tantheta),(2secthetatantheta,dtheta)

Passo 4

Agora simplificamos fator a fator:
(2sectheta)^2=4sec^2theta, então o integrando fica 2secthetatantheta4sec^2thetacdot2tantheta = 28sectheta=14costhetaã

Passo 5

A integral fica
integral 14costheta,dtheta=14integral costheta,dtheta=14sintheta+C

Passo 6

Para voltar a x, lembre-se que sectheta=x2 implica costheta=2x e sintheta=raiz1-cos^2theta=raizx^2-4x
Portanto o resultado em função de x é
14sintheta+C=14cdotraizx^2-4x+C

Resposta

raizx^2-44x+C

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