Calcule as integrais usando o método das frações parciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
usando o método das frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, e a gente quer simplificar a integral pra facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a fração em duas partes mais simples. Podemos escrever:
Assim, a integral vira a soma das integrais de cada uma dessas frações.
Passo 3
Vamos integrar o primeiro termo:
.
Aqui, percebemos que o numerador
é a derivada do denominador
(já que a derivada de
é
). Isso sugere usar uma substituição simples.
O
aparece porque a derivada de
é
, então dividimos por 2.
Passo 4
Agora, vamos integrar o segundo termo:
.
Esse é um caso clássico que sabemos que a integral é a função arco-tangente:
Resposta
Juntando as duas integrais, temos que:
Onde
é a constante de integração.