Calcule as integrais usando o método das frações parciais:
integral x+1x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral integral x+1x^2+1 dx usando o método das frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, e a gente quer simplificar a integral pra facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a fração em duas partes mais simples. Podemos escrever:
x+1x^2+1 = xx^2+1 + 1x^2+1
Assim, a integral vira a soma das integrais de cada uma dessas frações.

Passo 3

Vamos integrar o primeiro termo: xx^2+1.
Aqui, percebemos que o numerador x é a derivada do denominador x^2+1 (já que a derivada de x^2+1 é 2x). Isso sugere usar uma substituição simples.
integral xx^2+1 dx = 12 ln|x^2+1| + C1
O 12 aparece porque a derivada de x^2+1 é 2x, então dividimos por 2.

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo: 1x^2+1.
Esse é um caso clássico que sabemos que a integral é a função arco-tangente:
integral 1x^2+1 dx = arctan(x) + C2

Resposta

Juntando as duas integrais, temos que:
integral x+1x^2+1 dx = 12 ln(x^2+1) + arctan(x) + C
Onde C é a constante de integração.

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