Calcule as integrais usando o método da substituição:
integral x(2-x^2)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral x,(2 - x^2)^3,dx
Esse é um caso clássico para o método da substituição, pois a derivada de 2 - x^2 aparece multiplicada por x.

Passo 2

Fazendo a troca
u = 2 - x^2,
temos
du = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -tfrac12,du
Substituindo na integral original:
integral x,(2 - x^2)^3,dx = integral u^3,l(-tfrac12,dur) = -tfrac12integral u^3,du

Passo 3

Agora integramos em u:
-tfrac12integral u^3,du = -tfrac12cdot u^44 + C = -u^48 + C

Passo 4

Voltando para x (substituindo u = 2 - x^2):
-u^48 + C = -(2 - x^2)^48 + C

Resposta

-(2 - x^2)^48 + C

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