Faça um esboço do gráfico e indique se o limite existe (justifique sua resposta):
f(x)=lx^2-1, se x >= 1 4-x^2, se -1<x<1 x^2-1, se x <=-1
lim x -2 f(x) ; lim x -1 f(x) ; lim x 0 f(x) ; lim x 1 f(x) ; lim x 2 f(x)

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2-1, & x<= -1, 4 - x^2, & -1 < x < 1, x^2-1, & x>= 1,
e pede os limites em xto -2, -1, 0, 1 e 2. Vamos esboçar o gráfico para identificar de que ramo cada limite vem e então calcular cada um, verificando existência.

Passo 2

Esboço do gráfico por partes:
— Para x<= -1, temos a parábola ,y=x^2-1, incluindo o ponto l(-1,(-1)^2-1r)=(-1,0).
— Para -1<x<1, temos a parábola invertida ,y=4-x^2, com vértice em (0,4) e aberturas em (-1,3) e (1,3), ambos círculos abertos.
— Para x>=1, voltamos a y=x^2-1, incluindo o ponto l(1,1^2-1r)=(1,0).
No esboço, ligamos suavemente cada ramo e marcamos círculos fechados em (-1,0) e (1,0), e círculos abertos em (-1,3), (1,3).

Passo 3

Limite em xto -2. Como -2<-1, ambos os próximos valores de x vêm do ramo y=x^2-1, que é contínuo ali. Logo
limxto -2f(x)=(-2)^2-1=4-1=3

Passo 4

Limite em xto -1. Aqui precisamos das duas laterais:
— Lateral esquerda ,(xto -1^-) usa y=x^2-1, dando (-1)^2-1=0.
— Lateral direita ,(xto -1^+) usa y=4-x^2, dando 4-(-1)^2=4-1=3.
Como 0neq3, o limite não existe em -1.

Passo 5

Limite em xto 0. Para 0 estamos no ramo -1<x<1, onde f(x)=4-x^2 é contínua. Então
limxto 0f(x)=4-0^2=4

Passo 6

Limite em xto 1. De novo, analisamos as duas laterais:
xto1^- usa 4-x^2, dando 4-1=3.
xto1^+ usa x^2-1, dando 1-1=0.
Como 3neq0, o limite não existe em 1.

Passo 7

Limite em xto 2. Aqui 2>1, caímos no ramo y=x^2-1 (contínuo em torno de 2), logo
limxto 2f(x)=2^2-1=4-1=3

Resposta

limxto -2f(x)=3, existe.
limxto -1f(x) não existe.
limxto 0f(x)=4, existe.
limxto 1f(x) não existe.
limxto 2f(x)=3, existe.

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