Considere um vetor v que parte da origem. Quais são as coordenadas de v satisfazendo a condição: ortogonal ao plano x y.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de um vetor ,(\vec v,) que parte da origem e é ortogonal ao plano xy. O assunto é geometria vetorial e vamos precisar usar o conceito de ortogonalidade via produto escalar.

Passo 2

Para um vetor vec v=(vx,vy,vz) ser ortogonal ao plano xy, seu produto escalar com quaisquer vetores dentro desse plano deve ser zero. Dois vetores base do plano xy são hat i=(1,0,0) e hat j=(0,1,0).

Passo 3

Aplicamos o produto escalar com hat i:
vec v cdot hat i = vx cdot 1 + vy cdot 0 + vz cdot 0 = vx
Como queremos ortogonalidade, temos vx=0.

Passo 4

Agora aplicamos o produto escalar com hat j:
vec v cdot hat j = vx cdot 0 + vy cdot 1 + vz cdot 0 = vy
E exigimos vy=0.

Passo 5

Portanto as únicas coordenadas livres são vz, e o vetor fica na forma (0,0,vz).

Resposta

(0,0,vz), com vz qualquer escalar.

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