Calcule as integrais usando a regra da substituição.
integral sen(t) sec ^2(cos (t)) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin(t),sec^2(cos(t)),dt usando a regra da substituição.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = cos(t). Derivando ambos os lados, temos du = -sin(t),dt, ou seja, sin(t),dt = -du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral sin(t),sec^2(cos(t)),dt = integral sec^2(u),(-du) = -integral sec^2(u),du

Passo 4

Agora basta integrar sec^2(u). Sabemos que a derivada de tan(u) é sec^2(u), logo
-integral sec^2(u),du = -tan(u) + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável t substituindo u = cos(t). Assim, a primitiva é -tan(cos(t)) + C.

Resposta

-\tan(\cos(t)) + C

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