Se a>0, encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas.
y=(a / 2) sqrt3-x^2, y=0, x=0, x=sqrt3

Passo 1

O exercício pede a área da região limitada por y = a2·√(3 − x²), y = 0, x = 0 e x = √3. O conteúdo é cálculo de área por integração de uma função positivamente definida.

Passo 2

Para calcular a área, montamos a integral da função y em relação a x sobre o intervalo de x = 0 até x = √3. Assim temos:
A = integral0^raiz3 y,dx = integral0^raiz3 a2raiz3 - x^2,dx

Passo 3

Como a/2 é constante em relação a x, podemos colocá-la em evidência dentro da integral:
A = a2integral0^raiz3 raiz3 - x^2,dx

Passo 4

Para avaliar integral0^raiz3raiz3 - x^2,dx, usamos a ideia de área de um quarto de círculo de raio R=raiz3 ou a substituição trigonométrica
x = √3·sinθ, dx = √3·cosθ dθ,
com θ variando de 0 a π/2. Sabe-se que
integral0^R raizR^2 - x^2,dx = pi R^24
Aqui R²=3, logo
integral0^raiz3 raiz3 - x^2,dx = picdot34 = 3pi4

Passo 5

Substituindo de volta em A, obtemos
A = a2cdot 3pi4 = 3api8

Resposta

3api8

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