Se
, encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas.
Passo 1
O exercício pede a área da região limitada por y =
·√(3 − x²), y = 0, x = 0 e x = √3. O conteúdo é cálculo de área por integração de uma função positivamente definida.
Passo 2
Para calcular a área, montamos a integral da função y em relação a x sobre o intervalo de x = 0 até x = √3. Assim temos:
Passo 3
Como
é constante em relação a x, podemos colocá-la em evidência dentro da integral:
Passo 4
Para avaliar
, usamos a ideia de área de um quarto de círculo de raio
ou a substituição trigonométrica
x = √3·sinθ, dx = √3·cosθ dθ,
com θ variando de 0 a π/2. Sabe-se que
x = √3·sinθ, dx = √3·cosθ dθ,
com θ variando de 0 a π/2. Sabe-se que
Aqui R²=3, logo
Passo 5
Substituindo de volta em A, obtemos