Considere a região delimitada pelos gráficos de y=ln (x) e pela reta x=ln 2, y=0 e x=e.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno da reta x=-2.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas y=ln(x), pela reta vertical x=ln2, pela reta horizontal y=0 e pela reta vertical x=e em torno da reta x=−2. Vamos usar cálculo de volume por cascas cilíndricas.

Passo 2

Para eixo de rotação vertical usaremos o método das cascas: a fórmula é
V = 2pi integrala^b (raio)(a
Aqui o raio de cada casca é a distância horizontal até x=−2 e a altura é a diferença de y entre a curva e y=0.

Passo 3

A região vai de x=ln2 até x=e. O raio é
r(x)=x-(-2)=x+2
e a altura é
h(x)=ln(x)-0=ln(x)
Logo o volume é
V=2piintegralx=ln2^e(x+2)ln(x),dx

Passo 4

Vamos calcular a integral
I=integral (x+2)ln(x),dx = integral xln(x),dx + 2integralln(x),dx
Para integral xln(x),dx, use integração por partes com u=ln(x), dv=x,dx:
integral xln(x),dx = x^22ln(x) - integralx^22cdot1x,dx = x^22ln(x)-x^24
Para integralln(x),dx, use também partes com u=ln(x), dv=dx:
integralln(x),dx = xln(x)-x

Passo 5

Somando os resultados:
I = x^22ln(x) - x^24 + 2l(xln(x)-xr) = x^22ln(x) - x^24 + 2xln(x) -2x
Assim uma primitiva é
F(x)=x^22ln(x) - x^24 + 2xln(x) -2x

Passo 6

Agora avaliamos de x=ln2 até x=e:
Para x=e:
F(e)=e^22cdot1 - e^24 +2ecdot1 -2e = e^24
Para x=\ln2 (denote L=ln2):
$$F(L)=\frac{L^2}{2}L - \frac{L^2}{4} +2L\cdot L -2L
= \frac{L^3}{2} + \frac{7L^2}{4} -2L.$$

Passo 7

O volume é
V = 2pil[F(e)-F(ln2)r] =2pil(e^24 - l[(ln2)^32 + 7(ln2)^24 -2ln2r]r)
Distribuindo e simplificando,
V = pil(e^22 - (ln2)^3 - 7(ln2)^22 +4ln2r)

Passo 8

Esse é o volume exato do sólido gerado pela rotação pedida.

Resposta

V = \pi\Bigl(\frac{e^2}{2} - (\ln2)^3 - \tfrac{7}{2}(\ln2)^2 +4\ln2\Bigr)

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