Considere a região delimitada pelos gráficos de
e pela reta
e
.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno da reta
.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno da reta
Passo 1
A questão pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas y=ln(x), pela reta vertical x=ln2, pela reta horizontal y=0 e pela reta vertical x=e em torno da reta x=−2. Vamos usar cálculo de volume por cascas cilíndricas.
Passo 2
Para eixo de rotação vertical usaremos o método das cascas: a fórmula é
Aqui o raio de cada casca é a distância horizontal até x=−2 e a altura é a diferença de y entre a curva e y=0.
Passo 3
A região vai de x=ln2 até x=e. O raio é
e a altura é
Logo o volume é
Passo 4
Vamos calcular a integral
Para
Para
, use também partes com
,
:
Passo 5
Somando os resultados:
Assim uma primitiva é
Passo 6
Agora avaliamos de x=ln2 até x=e:
Para x=e:
Para x=e:
Para x=\ln2 (denote L=ln2):
$$F(L)=\frac{L^2}{2}L - \frac{L^2}{4} +2L\cdot L -2L
= \frac{L^3}{2} + \frac{7L^2}{4} -2L.$$
Passo 7
O volume é
Distribuindo e simplificando,
Passo 8
Esse é o volume exato do sólido gerado pela rotação pedida.
Resposta
V = \pi\Bigl(\frac{e^2}{2} - (\ln2)^3 - \tfrac{7}{2}(\ln2)^2 +4\ln2\Bigr)