Calcule as integrais usando a regra da substituição.
integral0^1 d x(1+raizx)^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de 1/(1+raizx)^4 usando substituição.

Passo 2

Vamos definir u = 1 + raizx. Daqui temos raizx = u - 1 e, ao elevar ao quadrado, x = (u - 1)^2. Derivando em relação a u:
dx = 2(u - 1),du

Passo 3

Os limites mudam: quando x = 0, u = 1 + 0 = 1; quando x = 1, u = 1 + 1 = 2. A integral vira
integral1^2 2(u - 1)u^4,du

Passo 4

Agora, separamos e simplificamos o integrando:
2(u - 1)u^4 = 2u^-3 - 2u^-4

Passo 5

A antiderivada de 2u^-3 é -u^-2 e de -2u^-4 é +tfrac23u^-3. Logo,
F(u) = -u^-2 + 23u^-3

Passo 6

Avaliaremos entre u=1 e u=2:
F(2) = -12^2 + 23cdot 2^3 = -14 + 112 = -16,
F(1) = -1 + 23 = -13

Passo 7

Assim, o valor da integral é
F(2) - F(1) = -16 - l(-tfrac13r) = 16

Resposta

16

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