Calcule as integrais usando a regra da substituição.
integral sec ^2(theta) tg^3(theta) d theta

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral sec^2(theta),tan^3(theta),dtheta. O conteúdo principal aqui é a regra da substituição em integrais, usando que a derivada de tan(theta) é sec^2(theta).

Passo 2

Definimos a substituição u=tan(theta). Então temos du=sec^2(theta),dtheta, e a integral original se transforma em
integral sec^2(theta),tan^3(theta),dtheta = integral u^3,du

Passo 3

Agora basta integrar u^3 em relação a u:
integral u^3,du = u^44 + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável theta substituindo u=tan(theta), obtendo
tan^4(theta)4 + C

Resposta

dfractan^4(theta)4 + C

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