Cousidere
, curva plana parametrizada por
Mostre que
tem duas tangentes em
e encontre suas equações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é analisar uma curva no plano que é descrita por duas equações paramétricas:
Nosso objetivo é mostrar que essa curva tem duas tangentes no ponto
e descobrir quais são as equações dessas tangentes. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especificamente encontrando derivadas para determinar as inclinações das tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar quais valores de
correspondem ao ponto
. Isso significa que temos que encontrar
tal que:
Vamos resolver a segunda equação para encontrar
:
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses valores de
satisfazem a primeira equação
.
Para
:
Para
:
Ambos os valores de
satisfazem a equação, então temos dois pontos na curva que correspondem a
: quando
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as inclinações das tangentes nesses pontos. A inclinação da tangente a uma curva paramétrica é dada por:
Então, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Portanto:
Passo 5
Vamos agora calcular a inclinação
para cada valor de
encontrado:
Para
:
Para
:
Então, temos duas inclinações diferentes para as duas tangentes no ponto
: uma com inclinação
e outra com inclinação
.
Passo 6
Agora, vamos usar a equação da reta tangente para cada caso. A fórmula é:
Onde
é o ponto de tangência e
é a inclinação da reta.
Para o primeiro caso, com
:
Para o segundo caso, com
:
Resposta
As duas tangentes à curva
no ponto
são:
e