Cousidere A subset R^2, curva plana parametrizada por
x=3 t-t^3, y=3 t^2, t in R
Mostre que A tem duas tangentes em (0,9) e encontre suas equações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é analisar uma curva no plano que é descrita por duas equações paramétricas:
x = 3t - t^3, y = 3t^2
Nosso objetivo é mostrar que essa curva tem duas tangentes no ponto (0,9) e descobrir quais são as equações dessas tangentes. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo diferencial, especificamente encontrando derivadas para determinar as inclinações das tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar quais valores de t correspondem ao ponto (0,9). Isso significa que temos que encontrar t tal que:
x = 3t - t^3 = 0 e y = 3t^2 = 9
Vamos resolver a segunda equação para encontrar t:
3t^2 = 9 implies t^2 = 3 implies t = raiz3 ou t = -raiz3

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses valores de t satisfazem a primeira equação 3t - t^3 = 0.
Para t = raiz3:
3raiz3 - (raiz3)^3 = 3raiz3 - 3raiz3 = 0
Para t = -raiz3:
3(-raiz3) - (-raiz3)^3 = -3raiz3 + 3raiz3 = 0
Ambos os valores de t satisfazem a equação, então temos dois pontos na curva que correspondem a (0,9): quando t = raiz3 e t = -raiz3.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as inclinações das tangentes nesses pontos. A inclinação da tangente a uma curva paramétrica é dada por:
dydx = dydtdxdt
Então, vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t.
Derivando x em relação a t:
dxdt = 3 - 3t^2
Derivando y em relação a t:
dydt = 6t
Portanto:
dydx = 6t3 - 3t^2 = 6t3(1 - t^2) = 2t1 - t^2

Passo 5

Vamos agora calcular a inclinação dydx para cada valor de t encontrado:
Para t = raiz3:
dydx = 2raiz31 - (raiz3)^2 = 2raiz31 - 3 = 2raiz3-2 = -raiz3
Para t = -raiz3:
dydx = 2(-raiz3)1 - (-raiz3)^2 = -2raiz31 - 3 = -2raiz3-2 = raiz3
Então, temos duas inclinações diferentes para as duas tangentes no ponto (0,9): uma com inclinação -raiz3 e outra com inclinação raiz3.

Passo 6

Agora, vamos usar a equação da reta tangente para cada caso. A fórmula é:
y - y0 = m(x - x0)
Onde (x0, y0) é o ponto de tangência e m é a inclinação da reta.
Para o primeiro caso, com m = -raiz3:
y - 9 = -raiz3(x - 0) implies y = -raiz3 , x + 9
Para o segundo caso, com m = raiz3:
y - 9 = raiz3(x - 0) implies y = raiz3 , x + 9

Resposta

As duas tangentes à curva A no ponto (0,9) são:
y = -raiz3 , x + 9
e
y = raiz3 , x + 9

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