Calcule as integrais usando uma substituição apropriada:
integral(x^2-x) raizx+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral (x^2 - x)raizx+1,dx. O conteúdo é substiuição de variável (método de integração por substituição) para transformar a raiz raizx+1 em uma potência simples de uma nova variável.

Passo 2

Escolhemos a substituição t = x+1. Assim, dt = dx e x = t-1. A integral fica em termos de t:
(x^2 - x)raizx+1,dx = l((t-1)^2 - (t-1)r),t^1/2,dt

Passo 3

Expandimos e escrevemos tudo como potência de t:
(t-1)^2 - (t-1) = t^2 -2t +1 -t +1 = t^2 -3t +2,
portanto
integral (t^2 -3t +2),t^1/2,dt = integrall(t^5/2 -3t^3/2 +2t^1/2r)dt
Agora integramos termo a termo usando integral t^n dt = t^n+1/(n+1) + C.

Passo 4

Calculamos cada termo:
integral t^5/2dt = 27t^7/2, integral (-3t^3/2)dt = -3cdot25t^5/2 = -65t^5/2,
integral 2t^1/2dt = 2cdot23t^3/2 = 43t^3/2

Passo 5

Substituímos de volta t = x+1 para obter o resultado final: Após a substituição final e adicionando a constante de integração, temos o resultado completo.

Resposta

27(x+1)^7/2 - 65(x+1)^5/2 + 43(x+1)^3/2 + C

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