Calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - Deve-se usar métodos elementares (substituição ou integração por partes). Não há outras condições ou imagens.
Passo 2
Primeira ideia (linearidade): separar a soma dentro da integral para simplificar o trabalho. Pela linearidade da integral,
Isto transforma o problema em calcular duas integrais mais simples. A integral envolvendo
é um produto de um polinômio por uma função exponencial; um método adequado para isso é integração por partes, porque derivando o polinômio o grau diminui e isso facilita a repetição.
Passo 3
Calcular a integral mais simples
Uma primitiva de
é
. Portanto, avaliando nos limites:
Passo 4
Agora calcular
Aplicaremos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções
e
com derivadas adequadas,
Aqui a escolha prática é tomar
como o polinômio (para diminuir seu grau ao derivar) e
como a exponencial (para que a integral de
seja simples). Então, escolha:
Calculamos
e
:
Aplicando a fórmula em forma definida (entre
e
):
Substituindo
:
Avaliaremos o termo de fronteira e simplificaremos o sinal:
E o segundo termo fica
Portanto, chamando
obtém-se
Passo 5
Calcular
também por integração por partes (mesma ideia: reduzir o polinômio).
Escolha:
Escolha:
então
Aplicando integração por partes (definida):
Avaliaremos:
E
Mas já calculamos
. Assim
Passo 6
Voltar para
. Substituindo
em
:
Passo 7
Somar as duas partes que separamos no Passo 2:
Somando os termos semelhantes:
logo
Passo 8
Interpretação rápida e dica para a prova: sempre que tiver polinômio vezes exponencial (ou polinômio vezes seno/cosseno), escolha o polinômio como
na integração por partes — isso reduz o grau e permite repetir a técnica até chegar a uma integral direta. Aqui não foi necessária substituição; somente integração por partes repetida.