Calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right) e^{-x} d x.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é \left(x^{2}+1\right)e^{-x}.
  • Os limites de integração são 0 e 1.
  • Deve-se usar métodos elementares (substituição ou integração por partes). Não há outras condições ou imagens.

Passo 2

Primeira ideia (linearidade): separar a soma dentro da integral para simplificar o trabalho. Pela linearidade da integral,
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}e^{-x}\,dx + \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx.
Isto transforma o problema em calcular duas integrais mais simples. A integral envolvendo x^{2}e^{-x} é um produto de um polinômio por uma função exponencial; um método adequado para isso é integração por partes, porque derivando o polinômio o grau diminui e isso facilita a repetição.

Passo 3

Calcular a integral mais simples
\int_{0}^{1}e^{-x}\,dx.
Uma primitiva de e^{-x} é -e^{-x}. Portanto, avaliando nos limites:
\int_{0}^{1}e^{-x}\,dx = \bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{1} = \bigl(-e^{-1}\bigr)-\bigl(-e^{0}\bigr) = - e^{-1}+1 = 1-e^{-1}.

Passo 4

Agora calcular
\int_{0}^{1}x^{2}e^{-x}\,dx.
Aplicaremos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v(x) com derivadas adequadas,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui a escolha prática é tomar u como o polinômio (para diminuir seu grau ao derivar) e dv como a exponencial (para que a integral de dv seja simples). Então, escolha:
u = x^{2},\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Calculamos du e v:
du = 2x\,dx,\qquad v = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Aplicando a fórmula em forma definida (entre 0 e 1):
\int_{0}^{1}x^{2}e^{-x}\,dx = \bigl[u v\bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}v\,du.
Substituindo u,v,du:
\int_{0}^{1}x^{2}e^{-x}\,dx = \bigl[-x^{2}e^{-x}\bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\bigl(-e^{-x}\bigr)\,2x\,dx.
Avaliaremos o termo de fronteira e simplificaremos o sinal:
\bigl[-x^{2}e^{-x}\bigr]_{0}^{1} = -1^{2}e^{-1}-\bigl( -0^{2}e^{0}\bigr) = -e^{-1}.
E o segundo termo fica
- \int_{0}^{1}\bigl(-e^{-x}\bigr)\,2x\,dx = +2\int_{0}^{1}x e^{-x}\,dx.
Portanto, chamando
K=\int_{0}^{1}x^{2}e^{-x}\,dx, \qquad L=\int_{0}^{1}x e^{-x}\,dx,
obtém-se
K = -e^{-1} + 2L.

Passo 5

Calcular L=\int_{0}^{1}x e^{-x}\,dx também por integração por partes (mesma ideia: reduzir o polinômio).
Escolha:
u = x,\qquad dv = e^{-x}\,dx,
então
du = dx,\qquad v = -e^{-x}.
Aplicando integração por partes (definida):
L = \bigl[-x e^{-x}\bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx.
Avaliaremos:
\bigl[-x e^{-x}\bigr]_{0}^{1} = -1\cdot e^{-1} - 0 = -e^{-1}.
E
- \int_{0}^{1}\bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx = + \int_{0}^{1} e^{-x}\,dx.
Mas já calculamos \int_{0}^{1} e^{-x}\,dx = 1 - e^{-1}. Assim
L = -e^{-1} + (1 - e^{-1}) = 1 - 2e^{-1}.

Passo 6

Voltar para K. Substituindo L em K = -e^{-1} + 2L:
K = -e^{-1} + 2\bigl(1 - 2e^{-1}\bigr) = -e^{-1} + 2 - 4e^{-1} = 2 - 5e^{-1}.

Passo 7

Somar as duas partes que separamos no Passo 2:
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx = K + \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx = \bigl(2 - 5e^{-1}\bigr) + \bigl(1 - e^{-1}\bigr).
Somando os termos semelhantes:
2 + 1 = 3,\qquad -5e^{-1} - e^{-1} = -6e^{-1},
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\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx = 3 - 6e^{-1}.

Passo 8

Interpretação rápida e dica para a prova: sempre que tiver polinômio vezes exponencial (ou polinômio vezes seno/cosseno), escolha o polinômio como u na integração por partes — isso reduz o grau e permite repetir a técnica até chegar a uma integral direta. Aqui não foi necessária substituição; somente integração por partes repetida.

Resposta

3 - 6e^{-1}

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