Calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4}\left(x^{3}+x^{4} \operatorname{tg}(x)\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\bigl(x^{3}+x^{4}\tan(x)\bigr)\,dx.
Informações importantes retiradas do enunciado:
  • O intervalo de integração é simétrico em torno de zero: \,[-\pi/4,\;\pi/4]\,.
  • O integrando é a soma de duas funções: x^{3} e x^{4}\tan(x).
  • Podemos calcular a integral como a soma das integrais das duas parcelas:
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}x^{3}\,dx\quad\text{e}\quad \int_{-\pi/4}^{\pi/4}x^{4}\tan(x)\,dx.

Passo 2

Uma ideia poderosa para integrais em intervalos simétricos é usar a substituição u=-x ou, de forma equivalente, observar como a função se comporta quando trocamos x por -x. Vou explicar isso passo a passo.
Seja f uma função qualquer e seja a>0. Fazendo a mudança de variável u=-x na integral \int_{-a}^{a} f(x)\,dx, tem-se:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{a}^{-a} f(-u)(-du) = \int_{-a}^{a} f(-u)\,du.
Como a variável de integração é fictícia, isso mostra que
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{a} f(-x)\,dx.
Dessa igualdade surgem duas conclusões úteis:
  • Se f(-x)= -f(x) para todo x do intervalo (isto é, f é ímpar), então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = -\int_{-a}^{a} f(x)\,dx \quad\Rightarrow\quad \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
  • Se f(-x)= f(x) para todo x do intervalo (isto é, f é par), então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Isso é uma forma de usar substituição (trocar x por -x) para simplificar integrais em intervalos simétricos. Vou aplicar agora essas ideias às duas parcelas da integral original.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^{3}\,dx.
Verificação do comportamento ao trocar x por -x:
(-x)^{3} = -x^{3},
ou seja, x^{3} é uma função ímpar. Pela propriedade explicada no passo anterior, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto,
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^{3}\,dx = 0.
(se preferir ver por mudança de variável: faça u=-x. Então
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^{3}\,dx = \int_{\pi/4}^{-\pi/4} (-u)^{3}(-du) = -\int_{-\pi/4}^{\pi/4} (-u)^{3}\,du = -\int_{-\pi/4}^{\pi/4} -u^{3}\,du = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} u^{3}\,du,
o que implica que a integral é igual a seu próprio negativo, logo zero.)

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^{4}\tan(x)\,dx.
Vamos estudar a paridade da função g(x)=x^{4}\tan(x).
  • Para a potência: (-x)^{4}=x^{4}, logo x^{4} é par.
  • Para a tangente: \tan(-x)=-\tan(x), logo \tan(x) é ímpar.
    O produto de uma função par com uma função ímpar é uma função ímpar. Assim,
g(-x)=(-x)^{4}\tan(-x)=x^{4}(-\tan(x))=-x^{4}\tan(x)=-g(x),
portanto g é ímpar. Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Logo,
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^{4}\tan(x)\,dx = 0.
(Pode-se também demonstrar isso por substituição u=-x diretamente:
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^{4}\tan(x)\,dx = \int_{\pi/4}^{-\pi/4} (-u)^{4}\tan(-u)(-du) = -\int_{-\pi/4}^{\pi/4} u^{4}(-\tan(u))\,du = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} u^{4}\tan(u)\,du,
levando à conclusão de que a integral é igual ao seu negativo, então zero.)

Passo 5

Somando as duas parcelas encontradas:
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\bigl(x^{3}+x^{4}\tan(x)\bigr)\,dx = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^{3}\,dx \;+\; \int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^{4}\tan(x)\,dx = 0 + 0 = 0.

Resposta

0

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