Calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações importantes retiradas do enunciado:
- O intervalo de integração é simétrico em torno de zero:
. - O integrando é a soma de duas funções:
e . - Podemos calcular a integral como a soma das integrais das duas parcelas:
Passo 2
Uma ideia poderosa para integrais em intervalos simétricos é usar a substituição
ou, de forma equivalente, observar como a função se comporta quando trocamos
por
. Vou explicar isso passo a passo.
Seja
uma função qualquer e seja
. Fazendo a mudança de variável
na integral
, tem-se:
Como a variável de integração é fictícia, isso mostra que
Dessa igualdade surgem duas conclusões úteis:
- Se
para todo do intervalo (isto é, é ímpar), então
- Se
para todo do intervalo (isto é, é par), então
Isso é uma forma de usar substituição (trocar
por
) para simplificar integrais em intervalos simétricos. Vou aplicar agora essas ideias às duas parcelas da integral original.
Passo 3
Calcular
.
Verificação do comportamento ao trocar
por
:
ou seja,
é uma função ímpar. Pela propriedade explicada no passo anterior, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto,
(se preferir ver por mudança de variável: faça
. Então
o que implica que a integral é igual a seu próprio negativo, logo zero.)
Passo 4
Calcular
.
Vamos estudar a paridade da função
.
- Para a potência:
, logo é par. - Para a tangente:
, logo é ímpar.
O produto de uma função par com uma função ímpar é uma função ímpar. Assim,
portanto
é ímpar. Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Logo,
(Pode-se também demonstrar isso por substituição
diretamente:
levando à conclusão de que a integral é igual ao seu negativo, então zero.)
Passo 5
Somando as duas parcelas encontradas:
Resposta
0