Calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
\int_{0}^{\pi} e^{\cos t} \operatorname{sen}(2 t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} e^{\cos t}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 0 e \pi.
  • A função integranda é e^{\cos t} multiplicada por \operatorname{sen}(2t).
    Observação: vou interpretar \operatorname{sen}(2t) como a função seno usual, ou seja \sin(2t).

Passo 2

Uma identidade trigonométrica útil aqui é
\sin(2t)=2\sin t\cos t.
Explicação curta: é a fórmula do ângulo duplo para seno, que se obtém da soma de ângulos \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b com a=b=t. Vamos usá-la para reescrever a integranda de forma que apareça \sin t multiplicando dt, o que combina bem com a derivada de \cos t.

Passo 3

Reescrevendo a integral usando a identidade:
\int_{0}^{\pi} e^{\cos t}\sin(2t)\,dt = \int_{0}^{\pi} e^{\cos t}\bigl(2\sin t\cos t\bigr)\,dt = \int_{0}^{\pi} 2\cos t\,e^{\cos t}\sin t\,dt.
Agora fica claro que a combinação \sin t\,dt é a derivada (até sinal) de \cos t, então uma substituição simples resolve a integral.

Passo 4

Fazer a substituição
u=\cos t.
Então
du=-\sin t\,dt\quad\text{ou}\quad \sin t\,dt=-du.
Troca dos limites:
t=0\Rightarrow u=\cos 0=1,\qquad t=\pi\Rightarrow u=\cos\pi=-1.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{\pi} 2\cos t\,e^{\cos t}\sin t\,dt = \int_{t=0}^{t=\pi} 2u\,e^{u}\,(-du) = - \int_{1}^{-1} 2u\,e^{u}\,du.

Passo 5

Inverter os limites para eliminar o sinal negativo:
- \int_{1}^{-1} 2u\,e^{u}\,du = \int_{-1}^{1} 2u\,e^{u}\,du.
Portanto a integral original passou a ser
\int_{-1}^{1} 2u\,e^{u}\,du.

Passo 6

Agora precisamos calcular a integral indefinida de 2u e^{u}. Podemos usar integração por partes ou reconhecer uma primitiva conhecida. Vou aplicar integração por partes para ensinar o método.
Regra de integração por partes (fórmula): para funções v(u) e w'(u),
\int v(u)\,w'(u)\,du = v(u)w(u) - \int v'(u)w(u)\,du.
Escolha conveniente: tome v(u)=u e w'(u)=e^{u}. Então v'(u)=1 e w(u)=e^{u}. Aplicando:
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int 1\cdot e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C = e^{u}(u-1)+C.
Multiplicando por 2:
\int 2u e^{u}\,du = 2e^{u}(u-1)+C.

Passo 7

Aplicar a primitiva aos limites de -1 a 1:
\int_{-1}^{1} 2u e^{u}\,du = \Bigl[\,2e^{u}(u-1)\Bigr]_{u=-1}^{u=1}.
Calcule em u=1:
2e^{1}(1-1)=2e(0)=0.
Calcule em u=-1:
2e^{-1}(-1-1)=2e^{-1}(-2)=-4e^{-1}.
Fazendo a diferença (valor em 1 menos valor em -1):
0 - \bigl(-4e^{-1}\bigr)=4e^{-1}=\frac{4}{e}.

Passo 8

Conclusão: a integral original vale \dfrac{4}{e}. Motivação rápida: a substituição u=\cos t foi natural porque a derivada de \cos t é -\sin t, e a identidade do ângulo duplo transformou \sin(2t) em uma expressão com \sin t que combinou perfeitamente com essa derivada; depois a integral em u foi resolvida por partes de maneira direta.

Resposta

\dfrac{4}{e}

Exercícios relacionados