Calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função integranda é
multiplicada por .
Observação: vou interpretarcomo a função seno usual, ou seja .
Passo 2
Uma identidade trigonométrica útil aqui é
Explicação curta: é a fórmula do ângulo duplo para seno, que se obtém da soma de ângulos
com
. Vamos usá-la para reescrever a integranda de forma que apareça
multiplicando
, o que combina bem com a derivada de
.
Passo 3
Reescrevendo a integral usando a identidade:
Agora fica claro que a combinação
é a derivada (até sinal) de
, então uma substituição simples resolve a integral.
Passo 4
Fazer a substituição
Então
Troca dos limites:
Substituindo na integral:
Passo 5
Inverter os limites para eliminar o sinal negativo:
Portanto a integral original passou a ser
Passo 6
Agora precisamos calcular a integral indefinida de
. Podemos usar integração por partes ou reconhecer uma primitiva conhecida. Vou aplicar integração por partes para ensinar o método.
Regra de integração por partes (fórmula): para funções
e
,
Escolha conveniente: tome
e
. Então
e
. Aplicando:
Multiplicando por
:
Passo 7
Aplicar a primitiva aos limites de
a
:
Calcule em
:
Calcule em
:
Fazendo a diferença (valor em
menos valor em
):
Passo 8
Conclusão: a integral original vale
. Motivação rápida: a substituição
foi natural porque a derivada de
é
, e a identidade do ângulo duplo transformou
em uma expressão com
que combinou perfeitamente com essa derivada; depois a integral em
foi resolvida por partes de maneira direta.