Calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e o que precisamos tratar:
- A variável de integração é
. -
e são constantes (não dependem de ). - Os limites de integração são
e . - Objetivo: encontrar um valor explícito da integral em função de
e .
Passo 2
Escolha do método e razão: a função dentro do seno é uma função afim de
(ou seja, da forma
). Nesses casos a substituição linear é a forma mais direta: define-se uma nova variável que simplifique a expressão dentro do seno para
. Faço a substituição
Agora calcule
em função de
:
Passo 3
Transformação dos limites de integração: avaliar
em
e
.
Substituindo
e
na integral original obtemos
Factor constante para fora:
Passo 4
Integração básica: a primitiva do seno é
. Portanto
Usamos agora identidades trigonométricas conhecidas:
Substituindo essas igualdades:
Passo 5
Juntando tudo:
Interpretação rápida (para motivação): a integral mede a área do seno deslocado sobre meio-período correspondente a
; a resposta simples
surge porque a substituição linear ajusta a escala temporal e as identidades trigonométricas simplificam o resultado.