Calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
\int_{0}^{\mathrm{T} / 2} \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi \mathrm{t}}{\mathrm{T}}-\alpha\right) \mathrm{dt}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\mathrm{T}/2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi \mathrm{t}}{\mathrm{T}}-\alpha\right)\mathrm{dt}.
Informações dadas e o que precisamos tratar:
  • A variável de integração é \mathrm{t}.
  • \mathrm{T} e \alpha são constantes (não dependem de \mathrm{t}).
  • Os limites de integração são \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=\mathrm{T}/2.
  • Objetivo: encontrar um valor explícito da integral em função de \mathrm{T} e \alpha.

Passo 2

Escolha do método e razão: a função dentro do seno é uma função afim de \mathrm{t} (ou seja, da forma a\mathrm{t}+b). Nesses casos a substituição linear é a forma mais direta: define-se uma nova variável que simplifique a expressão dentro do seno para \mathrm{u}. Faço a substituição
\mathrm{u}=\frac{2\pi \mathrm{t}}{\mathrm{T}}-\alpha.
Agora calcule \mathrm{du} em função de \mathrm{dt}:
\mathrm{du}=\frac{2\pi}{\mathrm{T}}\mathrm{dt} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{dt}=\frac{\mathrm{T}}{2\pi}\mathrm{du}.

Passo 3

Transformação dos limites de integração: avaliar \mathrm{u} em \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=\mathrm{T}/2.
\text{para }\mathrm{t}=0:\quad \mathrm{u}=-\alpha.
\text{para }\mathrm{t}=\mathrm{T}/2:\quad \mathrm{u}=\frac{2\pi(\mathrm{T}/2)}{\mathrm{T}}-\alpha=\pi-\alpha.
Substituindo \mathrm{u} e \mathrm{dt} na integral original obtemos
\int_{0}^{\mathrm{T}/2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi \mathrm{t}}{\mathrm{T}}-\alpha\right)\mathrm{dt} = \int_{-\alpha}^{\pi-\alpha}\operatorname{sen}(\mathrm{u})\cdot\frac{\mathrm{T}}{2\pi}\,\mathrm{du}.
Factor constante para fora:
=\frac{\mathrm{T}}{2\pi}\int_{-\alpha}^{\pi-\alpha}\operatorname{sen}(\mathrm{u})\,\mathrm{du}.

Passo 4

Integração básica: a primitiva do seno é -\cos. Portanto
\int_{-\alpha}^{\pi-\alpha}\operatorname{sen}(\mathrm{u})\,\mathrm{du} =\bigl[-\cos(\mathrm{u})\bigr]_{-\alpha}^{\pi-\alpha} =-\cos(\pi-\alpha)+\cos(-\alpha).
Usamos agora identidades trigonométricas conhecidas:
\cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha), \qquad \cos(-\alpha)=\cos(\alpha).
Substituindo essas igualdades:
-\cos(\pi-\alpha)+\cos(-\alpha)=-\bigl(-\cos(\alpha)\bigr)+\cos(\alpha)=\cos(\alpha)+\cos(\alpha)=2\cos(\alpha).

Passo 5

Juntando tudo:
\frac{\mathrm{T}}{2\pi}\int_{-\alpha}^{\pi-\alpha}\operatorname{sen}(\mathrm{u})\,\mathrm{du} =\frac{\mathrm{T}}{2\pi}\cdot 2\cos(\alpha) =\frac{\mathrm{T}}{\pi}\cos(\alpha).
Interpretação rápida (para motivação): a integral mede a área do seno deslocado sobre meio-período correspondente a \mathrm{t}\in[0,\mathrm{T}/2]; a resposta simples \dfrac{\mathrm{T}}{\pi}\cos(\alpha) surge porque a substituição linear ajusta a escala temporal e as identidades trigonométricas simplificam o resultado.

Resposta

\dfrac{\mathrm{T}}{\pi}\cos(\alpha)

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