Calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações fornecidas:
- A variável de integração é
. - Os limites são
(inferior) e (superior). - A integranda é
, que corresponde a em notação usual.
O objetivo é calcular essa integral usando substituição e/ou integração por partes. Neste caso usaremos substituição e reconhecimento da primitiva.
Passo 2
Motivação da substituição: a função dentro das funções trigonométricas é
. Uma substituição
simplifica o argumento e deixa uma constante fora da integral. Faço:
Derivo em relação a
para relacionar os diferenciais:
Agora calculo os novos limites em
:
Passo 3
Faço a mudança de variável na integral. Substituindo
e
obtemos:
Passo 4
Agora preciso da primitiva de
. Lembrete (pequena aula):
- A função
é . - Para encontrar a derivada de
uso a regra da cadeia ou a derivada de :
Reescrevendo,
Portanto
Isso implica que uma primitiva de
é
, pois a derivada de
é
.
Passo 5
Usando a primitiva encontrada:
Logo a integral definida vale
Passo 6
Avalio a expressão nos limites. Primeiro calculo os valores de
:
Substituo na primitiva: