Calcule as integrais usando substituição, integração por partes ou ambos métodos.
\int_{1 / 6}^{1 / 2} \operatorname{cossec}(\pi \mathrm{t}) \operatorname{cotg}(\pi \mathrm{t}) \mathrm{dt}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1/6}^{1/2} \operatorname{cossec}(\pi t)\,\operatorname{cotg}(\pi t)\,dt.
Informações fornecidas:
  • A variável de integração é t.
  • Os limites são t=1/6 (inferior) e t=1/2 (superior).
  • A integranda é \operatorname{cossec}(\pi t)\,\operatorname{cotg}(\pi t), que corresponde a \csc(\pi t)\cot(\pi t) em notação usual.
    O objetivo é calcular essa integral usando substituição e/ou integração por partes. Neste caso usaremos substituição e reconhecimento da primitiva.

Passo 2

Motivação da substituição: a função dentro das funções trigonométricas é \pi t. Uma substituição u=\pi t simplifica o argumento e deixa uma constante fora da integral. Faço:
u = \pi t.
Derivo em relação a t para relacionar os diferenciais:
du = \pi\,dt \quad\Rightarrow\quad dt = \frac{du}{\pi}.
Agora calculo os novos limites em u:
\text{quando } t=\tfrac{1}{6},\quad u=\pi\cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{\pi}{6},
\text{quando } t=\tfrac{1}{2},\quad u=\pi\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Faço a mudança de variável na integral. Substituindo u=\pi t e dt=\dfrac{du}{\pi} obtemos:
\int_{1/6}^{1/2} \csc(\pi t)\cot(\pi t)\,dt = \int_{\pi/6}^{\pi/2} \csc(u)\cot(u)\cdot\frac{du}{\pi} = \frac{1}{\pi}\int_{\pi/6}^{\pi/2} \csc(u)\cot(u)\,du.

Passo 4

Agora preciso da primitiva de \csc(u)\cot(u). Lembrete (pequena aula):
  • A função \csc(u) é \csc(u)=\dfrac{1}{\sin(u)}.
  • Para encontrar a derivada de \csc(u) uso a regra da cadeia ou a derivada de 1/\sin u:
\frac{d}{du}\big(\csc u\big)=\frac{d}{du}\big(\sin u\big)^{-1} = -(\sin u)^{-2}\cos u = -\frac{\cos u}{\sin^2 u}.
Reescrevendo,
-\frac{\cos u}{\sin^2 u} = -\left(\frac{1}{\sin u}\right)\left(\frac{\cos u}{\sin u}\right) = -\csc u\cot u.
Portanto
\frac{d}{du}\big(\csc u\big) = -\csc u\cot u.
Isso implica que uma primitiva de \csc u\cot u é -\csc u, pois a derivada de -\csc u é \csc u\cot u.

Passo 5

Usando a primitiva encontrada:
\int \csc(u)\cot(u)\,du = -\csc(u) + C.
Logo a integral definida vale
\frac{1}{\pi}\int_{\pi/6}^{\pi/2} \csc(u)\cot(u)\,du = \frac{1}{\pi}\Big[-\csc(u)\Big]_{u=\pi/6}^{u=\pi/2}.

Passo 6

Avalio a expressão nos limites. Primeiro calculo os valores de \csc:
\csc\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{\sin(\pi/2)}=\frac{1}{1}=1,
\csc\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sin(\pi/6)}=\frac{1}{1/2}=2.
Substituo na primitiva:
\frac{1}{\pi}\Big[-\csc\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) - \big(-\csc\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)\big)\Big] = \frac{1}{\pi}\big[-1 + 2\big] = \frac{1}{\pi}\cdot 1 = \frac{1}{\pi}.

Resposta

\dfrac{1}{\pi}

Exercícios relacionados