Mostre que, se
então,
, onde
e
é o polinômio de Taylor de
de ordem 2 e centro
.
Saiba que são suas decisões, e não suas condições, que determinam seu destino. (Anthony Robbins)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, assumindo que
, a desigualdade
onde está dada a função
e
é o polinômio de Taylor de ordem
de
em torno do ponto central
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O centro da expansão é
. - Queremos a expansão de Taylor até segunda ordem (polinômio de grau
) e uma estimativa do resto que satisfaça a desigualdade acima. - A hipótese adicional:
.
Passo 2
Vamos calcular explicitamente o polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em
. Para isso é útil obter as derivadas parciais necessárias (avaliadas em
).
Calcular
, gradiente e segunda derivadas:
Avaliações em
:
Derivadas primeiras:
Portanto, em
:
Derivadas segundas:
Em
isso dá
Passo 3
Fórmula do polinômio de Taylor de segunda ordem em várias variáveis (para recapitular): se
é suficientemente suave e as derivadas até segunda ordem são avaliadas no centro
, então
onde
é a matriz Hessiana em
. Substituindo os valores que calculamos:
-
, -
(logo não há termos lineares), - a forma quadrática é
(porque o termo misto aparece duas vezes ao somar ).
Logo
Isso é intuitivo também vendo a expansão de
:
, então
, e o termo de ordem total
é
.
Passo 4
Expressar o resto
. A partir do cálculo anterior:
Assim
Agora precisamos estimar
por algo envolvendo potências de
. Uma forma limpa e pedagógica é usar a representação integral:
porque
e a integral de
até
fornece a diferença. Tomando valor absoluto e usando que
para pequenos
e a desigualdade geral
obtemos, para
,
Computando a integral:
Portanto obtemos o limite simples e útil
Passo 5
Usando a estimativa anterior no resto:
Agora compare esse majorante com o lado direito desejado:
Subtraindo o nosso bound obtido da expressão desejada:
Como
e a hipótese do enunciado é
, temos
. Portanto a diferença acima é não negativa; mais precisamente é estritamente positiva sempre que
(e nula somente se
e
). Logo
com desigualdade estrita quando
.
Portanto, combinando com o passo anterior,
Isto mostra a desigualdade pedida; observação final: para
e
temos a desigualdade estrita